Знайомитися з теорією ймовірності слід з найпростіших задач, які в свою чергу ведуть до основ комбінаторики. Далі наведено прості приклади на розміщення та пояснення чому в одних завданнях формули працюють, а в інших потрібно приймати певні поправки.
Задача 1 Скільки тризначних чисел можна записати цифрами 0, 1, 2, 3, 4, якщо кожну з цих цифр можна використовувати не більше одного разу?
Розв'язання: Згідно теорії, кількість можливих розміщень з n=5 різних цифр по m=3 без повторень можна визначити за формулою розміщень:
оскільки кожну з цих цифр можна використовувати не більше одного разу:
Так обчислить практично більшість студентів і допустить одну з поширених на практиці помилок.
Справа в тому, що цифра 0 не може бути на початку число. І не важливо чи число двозначне, тризначне чи ще більше.
Це одна з поширених хитростей на якій Вас можуть підловити викладачі.
Правильну відповідь на запитання можна отримати з наступних міркувань:
На перше місце можна поставити одну з чотирьох цифр (1, 2, 3, 4), нехай це буде 4.
Відповідно на друге місце можна вибрати одну цифру з наступних (0, 1, 2, 3), оскільки значення не повинні повторюватися. Візьмемо для прикладу 0.
На 3 позицію в числі можна поставити 1 з 3 цифр (1,2,3), нехай це буде 3.
Таким чином ми дістали 403.
Загальне значення це добуто всіх варіантів в кожному пунті, а саме:
1 з 4 для 1 цифри,
1 з 4 для 2;
3 для третьої.
За правилом добутку отримаємо
N=4·4·3=48.
Це значення менше ніж помилково знайдене 60.
Завжди в задачах де маєте сумніви користуйтеся логічними висновками в противагу формулам ймовірності. Вони мають широке застосування, однак в ряді випадків дають неправильне значення через ваше небажання краще дослідити умову прикладу.
Задача 2 Із цифр 1,2,3,4,5 складають всеможливі числа, кожне з яких складається не більше ніж з 3 цифр. Скільки таких чисел можна утворити, якщо повторення цифр не дозволяється?
Розв'язання: Завдання подібне до першого, тільки тут відсутній нуль. Це кардинально міняє ситуацію, тому сміло можете використовувати відому формулу ймовірності.
Кількість можливих розміщень з n=5 різних елементів по m менше рівне трьох без повторень можна визначити за формулою розміщень:
Anm=n!/m!
оскільки кількість цифр в числі може бути або 1, або 2, або 3, то тут застосовуємо правило суми:
Уважно розгляньте, як правильно спрощувати факторіали.
Саме від вміння обчислювати такі прості завдання залежить чи зможете далі Ви опанувати весь урс теорії ймовірностей. Повірте нашому досвіді, що це найлегші задачі, що Вас чекають. Далі буде і складніша теорія та трудомісткі в плані обчислень формули.
Задача 3 Із цифр 1,2,3,4,5 складають все можливі числа, кожне з яких складається не більше ніж з 3 цифр. Скільки таких чисел можна утворити, якщо дозволяється повторення цифр?
Розв'язання: Уважно перегляньте - маємо умову попереднього прикладу, тільки тут дозволені повторення. Це кардинаьно змінює підхід.
Кількість можливих розміщень з n=5 різних елементів по m=1,2,3 з повтореннями можна визначити за формулою: Anm=nm.
Тобто крім знайдених раніше чисел можна складати 333, 112 і тому подібні. Тому логічно, що таких чисел буде більше аніж знайдена в попередньому завданні кількість. Оскільки кількість цифр в числі може бути або 1, або 2, або 3, то тут застосовуємо правило суми:
N=n+n2+n3=5+52+53=155.
Запам'ятайте різницю між умовами та формулами кінцевих розрахунків.
Задача 4 У пасажирському поїзді 9 вагонів. Скількома способами можна розсадити у поїзді 4 людини при умові, що вони повинні їхати у різних вагонах?
Розв'язання: Кількість можливих розміщень з n=9 різних елементів по m=4 можна визначити через роміщення з 9 по 4
Якщо виходити з логічних пояснень, то першу людину можна посадити в одному з 9 вагонів.
Наступну в одному з 8, оскільки один вже зайнятий. Продовжуючи далі, отримаємо
N=9·8·7·6=3024.
Всюди де можливо виконуйте моделюваня ситуацій, о задані виходячи з логічних висновків.
Так Ви поступово знатимете при якій умові використовувати ту чи іншу формулу з теорії ймовірностей.
Задача 5 У першості школи з шахів беруть участь 15 учнів. Скількома способами можуть бути розподілені призові місця?
Розв'язання: Кількість можливих способів розподілу призових місць з n=15 різних учнів по m=3 без повторень можна визначити розміщеннями A153:
оскільки порядок тут важливий:
Схема пояснень один в один повторює попереднє завдання, тому повторювати її не будемо. Всіх простих задач дана стаття не охопить, зате на простих - класичних варіантах побудована вся теорія, тож зрозумівши методику отримання наведених відповідей переходьте до розгляду наступних тем теорії ймовірностей. Попереду на Вас чекають приклади на перестановки, сполучення і ще багато завдань, де їх застосовують.
