Ймовірність гіпотез. Переоцінка імовірності

Нехай подія А може настати одночасно з однією із несумісних подій В1, В2,... Вn, що утворюють повну групу подій. Наперед невідомо, яка з подій В1, В2,... Вn наступить, їх називають гіпотезами. Ймовірність появи події А визначається за формулою повної ймовірності

p(A/Bn) - називають умовними ймовірностями (ймовірність події A за умови Вn)
Замість наведеної вище формули ви можете зустріти таку

Вони ідентичні, різниця лише в тому як Вас вчать.
формула Байєса. Ймовірність що подія А відбулась за гіпотези Вn рівна вкладу p(Bn)*p(A/Bn) в ймовірності події A:

Формула Байєса дозволяє переоцінити ймовірності гіпотез після того, як буде відомим результат випробування, внаслідок якого з'явилась подія А.
Далі перейдемо до практичних, але спершу зауважимо одну маленьку деталь, на якій наголошують не всі викладачі. «Утворюють повну групу несумісних подій» означає, що одна з подій від іншої не залежить, і що сума їх ймовірностей рівна 1, тобто
p(B1)+p(B2)+…+p(Bn)=1.
Якщо ця умова не виконується, то група подій не є повною.

Приклад 1. Ймовірність, що айфон куплять в першому магазині дорівнює 0,75, в другому – 0,25. Якщо куплять в першому магазині, то ймовірність отримати в бонус безпровідні навушники рівна 20%, якщо в другому – 60%. Знайти ймовірність того, що при покупці айфону отримають в подарок навушники. Переоцініть ймовірність того, що айфон куплений в першому магазині, якщо при покупці в бонус дали безпровідні навушники. Відповідь запишіть в процентах.
Розв'язування: Позначимо через B1 подію – айфон куплять в першому магазині, B2 – в другому.
Тоді ймовірності P(B1)=0.75, P(B2)=0.25.

Подія А полягає в тому, що до телефону в подарок дадуть навушники.
Тоді умовні ймовірності рівні
P(A/B1)=20%/100%=0.2
P(A/B2)=0.6.
За формулою повної ймовірності знаходимо P(A):
P(A)=P(A/B1)•P(B1)+P(A/B2)•P(B2)=0.75*0.2+0.25*0.6=0.3
Для переоцінки ймовірності, що айфон куплений в першому магазині, якщо бонусом дали безпровідні навушники скористаємося формулою Байєса
P(B1/A)=P(A/B1)•P(B1)/P(A)=0.75*0.2/0.3=0,5.
Відповідь: 30%, 50%.

Приклад 2. В момент початку рейсу може бути сухо з іймовірністю 80%, або піде дощ з імовірністю 20%. Автобус заносить на поворотах з ймовірністю 10% в суху погоду і з ймовірністю 60% під час дощу. Переоцініть імовірність того, що рейс розпочався в суху погоду, якщо автобус заносило на поворотах.

Розв'язування: Дану задачу спершу важко було віднести до формули Байєса, але вона такою є.
Ключовою тут є подія, що автобус заносило, а вже знайти потрібно ймовірність, що заносило в суху погоду.
Позначимо А – подія, що автобус заносило.
H1, H2 гіпотези, що сухо або падає дощ.
Тоді
p(H1)=80%/100%=0.8,
p(H2)=0.2.
Ймовірності події A за умов гіпотез рівні
p(A/H1)=10%/100%=0,1 p(A/H2)=0.6.
Тоді ймовірність, що автобус заносило рівна
p(A)=p(A/H1)•p(H1)+p(A/H2)•p(H2)=0.1*0.8+0.6*0.2=0.2
Переоцінити ймовірність, що рейс розпочався коли було сухо, якщо автобус заносило, означає знайти P(H1/A).
За формулою Байєса отримаємо
P(H1/A)=p(A/H1)•p(H1)/p(A)=0.1*0.8/0.2=0.4
Це і є переоцінка події A.
Відповідь: 0,4.

Приклад 3.До магазину надходять однотипні вироби з трьох заводів, причому перший завод постачає 60%, другий - 30%, третій - 10%. Серед виробів першого заводу 85%, другого - 70%, третього - 80% першосортних. Купуємо один виріб, він виявляється першосортним. Знайти ймовірність того, що придбаний виріб випущений третім заводом.
Розв'язування: Позначимо через B, C, D - гіпотези, що виріб виготовлений першим, другим та третім заводом відповідно.
Тоді ймовірності, що вибрана деталь виготовлена на кожному заводі рівні:
p(B)=60%/100%=0,6;
p(C)=30%/100%=0,3;
p(D)=10%/100%=0,1.
Переконуємося, що гіпотези становлять повну групу подій:
p(B)+ p(C)+p(D)=0,6+0,3+0,1=1.
Нехай подія A полягає в тому, що навмання вибраний виріб першосортний.
Тоді ймовірність такої події в залежності на якому заводі він виготовлений рівна:
p(A/B)=85%/100%=0,85;
p(A/C)=70%/100%=0,7;
p(A/D)=80%/100%=0,8.
за формулою повної ймовірності знаходимо вірогідність, що вибраний виріб першосортний:
p(A)=p(A/B)•p(B)+p(A/C)•p(C)+p(A/D)•p(D)=0,6*0,85+0,3*0,7+0,1*0,8=0,8
Ймовірність того, що першосортний виріб, що вибрали виготовлений третім заводом за формулою Байєса рівна
p(D/A)=p(A/D)•p(D)/p(A)=0,1*0,8/0,8=0,1.
Запам'ятайте цю просту схему обчислень та не забувайте перевіряти (нехай усно) чи гіпотези утворюють повну групу подій.
Відповідь: 0,1.