Обчислити суму ряду можна лише у випадку коли ряд збіжний. Якщо ряд розбігається то сума ряду нескінченна і немає змісту щось обчислювати. Нижче наведені приклади знаходження суми ряду, які задавали у ЛНУ ім. І. Франка. Приклади підібрано так, що умова збіжності виконується завжди, однак перевірку на збіжність виконувати будемо. Дана і наступна за нею статті становлять розв'язок контрольної роботи на аналіз рядів.
Приклад 1.4 Обчислити суму рядів:
а) 
Обчислення: Оскільки границя загального члена ряду при номері, що прямує до безмежності рівна 0,
то даний ряд збігається. Обчислимо суму ряду. Для цього перетворимо загальний член, розклавши його на найпростіші дроби І типу. Методика розкладання на найпростіші дроби тут наводитися не буде, а лиш запишемо кінцевий вигляд розкладу
Відповідно до цього можемо суму розписати через суму ряду утвореного з найпростіших дробів, а далі через різницю сум рядів
Далі розписуємо кожен ряд в суму і виділяємо доданки (підкреслення), які стануть рівні 0 після додавання. Таким чином сума ряду спроститься до суми 3 доданків (позначені чорним), що в результаті дадуть 33/40.
На цьому базується вся методика знаходження суми простих рядів.
Приклади на складніші ряди зводяться до суми нескінченна спадних прогресій та рядів, які знаходять через відповідні формули, але тут такі розглядати не будемо.
б) 
Обчислення: Знаходимо границю n-го члена суми
Вона рівна нулю, отже заданий ряд збігається і є зміст шукати його суму. Якщо границя відмінна від нуля, то сума ряду рівна безмежності зі знаком "плюс" або "мінус". Знайдемо суму ряду. Для цього загальний член ряду, який є дробом, перетворимо методом невизначених коефіцієнтів до суми найпростіших дробів І типу
Далі за інструкцією, що наводилася раніше, записуємо суму ряду через відповідні суми найпростіших дробів
Розписуємо суми та виділяємо доданки, які зануляться при сумуванні.
В результаті отримаємо суму доданків (виділені чорним), яка рівна 17/6.
Приклад 1.9 Знайти суму ряду:
а) 
Обчислення: Обчисленням границі
переконуємося, що даний ряд збіжний і можна знаходити суму. Далі знаменник функції від n розкладаємо на прості множники, а весь дріб до суми найпростіших дробів І типу
Далі суму ряду відповідно до розкладу записуємо через два простіші ряди
Ряди записуємо у явному вигляді та виділяємо доданки, які після додавання дадуть в сумі нуль. Решта доданків (виділені чорним) і є сумою ряду
Таким чином, щоб знайти суму ряду треба на практиці звести під спільний знаменник 3 простих дроби.
б) 
Обчислення: Границя члена ряду при великих значеннях номера прямує до нуля
Це означає, що ряд збіжний, а його сума скінченна. Знайдемо суму ряду, для цього спершу методом невизначених коефіцієнтів розкладемо загальний член ряду на три найпростішого типу
Відповідно і суму ряду можна перетворити до суми трьох простих рядів
Далі шукаємо доданки в усіх трьох сумах, які після сумування перетворяться в нуль. В рядах, що містять три найпростіших дроби один з них при сумуванні стає рівним нулю (виділений червоним). Це слугує своєрідною підказкою в обчисленнях
Сума ряду рівна сумі 3 доданків, що дають одиницю.
Приклад 1.15 Обчислити суму ряду:
а) 
Обчислення: Оскільки загальний член ряду прямує до нуля,
то даний ряд збігається. Обчислимо його суму. Для цього перетворимо загальний член таким чином, щоб мати суму найпростіших дробів
Далі заданий ряд, відповідно до формул розкладу, записуємо через суму двох рядів
Після запису у явному вигляді більшість членів ряду в результаті сумування стануть рівні нулю. Залишиться обчислити суму трьох доданків.
Сума числового ряду рівна -1/30.
б) 
Обчислення: Оскільки границя загального члена ряду рівна нулю,
то ряд збігається. Для знаходження суми ряду розкладемо загальний член на дроби найпростішого типу.
При розкладі використовували метод невизначених коефіцієнтів. Записуємо суму ряду через знайдений розклад
Наступним кроком виділяємо доданки, що не внесуть вкладу у суму та додаємо решта, що залишилися
Сума ряду рівна 4,5.
Приклад 1.25 Обчислити суму рядів
а) 
Обчислення: Знаходимо границю загального члена ряду
Оскільки вона рівна нулю, то ряд збігається. Можемо знайти суму ряду. Для цього за схемою попередніх прикладів розкладаємо загальний член ряду через найпростіші дроби
Це дозволяє записати ряд через суму простих рядів та, виділивши в ньому доданки, що спростяться знайти суму.
В цьому випадку залишиться один доданок, який рівний одиниці.
б) 
Обчислення: Знаходимо границю загального члена ряду
та переконуємося що ряд збігається. Далі загальний член числового ряду методом невизначених коефіцієнтів розкладаємо на дроби найпростішого типу.
Через такі ж дроби розписуємо суму ряду
Записуємо ряди у явному вигляді та спрощуємо до суми 3 доданків
Сума ряду рівна 1/4.
На цьому ознайомлення зі схемами сумування рядів завершено. Тут ще не розглянуті ряди, які зводяться до суми нескінченно спадної геометричної прогресії, містять факторіали, степеневі залежності і подібні. Однак наведений матеріал буде корисний студентам на контрольних та тестах.
Готові розв'язки на ряди:
