Одними з початкових понять в курсі геометрії є означення точки, прямої, променя та відрізка. Ці базові поняття будуть дані в ході цього уроку на прикладах, які Вас чекатимуть в шкільній програмі та в подальшому навчанні. Запам'ятайте максимум того, що тут викладено, оскільки матеріал є фундаментом до розуміння всіх наступних публікацій, що йдуть за цією. Аксіоми максимально прості, а завдання різноманітні, тому Ви багато зможете охопити як з теорії, так і практики.
Уважно перегляньте все, що написано далі.
Задача 44.1 Дано чотири точки, жодні три з яких не лежать на одній прямій. Через кожні дві точки проведено пряму. Скільки прямих проведено?
А | Б | В | Г | Д |
Три | чотири | п’ять | шість | вісім |
Розв'язування: Маємо n=4 точок, жодні 3 з яких не лежать на одній прямій (за умовою задачі).
З кожної n точки проведено пряму до інших n-1 точок, отримаємо n(n-1).
Але кожна пряма проходить через дві точки, тому кількість прямих k, що проходить через n точок, жодні 3 з яких не лежать на одній прямій можна обчислити за формулою:
Тобто через 4 точки, жодні 3 з яких не лежать на одній прямій, можна провести 6 прямих.
Відповідь: шість –Г.
Задача 44.2 На прямій позначено чотири точки.
Скільки утворилося променів з початком у цих точках?
А | Б | В | Г | Д |
Чотири | п’ять | шість | сім | вісім |
Розв'язування: Промінь (півпряма) – частина прямої, яка складається з усіх точок цієї прямої, що лежать по один бік від даної на ній точки (за означенням).
Це означає, що з кожної n точки можна провести по два промені.
Отже, k=2n=2*4=8, тобто з 4 точок прямої утворилося 8 променів.
Відповідь: вісім –Д.
Задача 44.3 На прямій позначено чотири точки.
Скільки утворилося відрізків з кінцями у цих точках?
| А | Б | В | Г | Д |
Три | чотири | шість | сім | вісім |
Відрізок – частина прямої, яка складається з усіх точок цієї прямої, що лежать між двома даними її точками (кінцями відрізками) (за означенням).
Це означає, що з кожної n точки можна провести по два відрізки, але крайні точки утворюють лише по одному відрізку.
Отже, k=2n-2=2*4-2=8-2=6, тобто з 4 точок прямої утворилося 6 відрізків:
AB, AC, AD, BC, BD і CD,
причому запис AB і BA означає той самий відрізок.
Відповідь: шість –В.
Задача 44.4 Точка C лежить між точками A та B.
Вказати спільну частину променів AB та BC.
А | Б | В | Г | Д |
Відрізок BC | відрізок AB | промінь AB | точка B |
|
Розв'язування: Промінь (півпряма) – частина прямої, яка складається з усіх точок цієї прямої, що лежать по один бік від даної на ній точки (за означенням).
Відрізок – частина прямої, яка складається з усіх точок цієї прямої, що лежать між двома даними її точками (кінцями відрізками) (за означенням).
Промінь AB має початок в точці A і проходить через точку B;
промінь BC має початок в точці B і проходить через точку C.
Тому спільною частиною променів AB і BC є частина прямої, що лежить між точками A та B, а за означенням це і є відрізок AB.
Відповідь: відрізок AB –Б.
Задача 44.20 Точки A, B та C лежать на одній прямій. Встановити відповідність між характерними властивостями множин (1–4) та фігурами (А–Д).
1. Множина всіх точок прямої, що лежать разом з 2. Множина всіх точок прямої, які лежать з 3. Множина всіх точок прямої, які лежать з 4. Множина всіх точок прямої, які разом з | А. Промінь CA Б. Відрізок BC В. Відрізок AB Г. Відрізок AC Д. Промінь AC |
Розв'язування: Відрізок – частина прямої, яка складається з усіх точок цієї прямої, що лежать між двома даними її точками (кінцями відрізками) (за означенням).
Промінь (півпряма) – частина прямої, яка складається з усіх точок цієї прямої, що лежать по один бік від даної на ній точки (за означенням).
1) Початок в точці A, а кінець в точці C, тому це відрізок AC Г;
2) Початок в точці A, а кінця немає, тому це промінь AC Д;
3) Початок в точці C, а кінця немає, тому це промінь CA А;
4) Початок в точці B, а кінець в точці C, тому це відрізок BC Б.
Задача 44.25 На відрізку позначили п’ять точок.
Скільки всього відрізків утворилося?
Розв'язування: На відрізку AB позначимо п'ять точок K, L, M, N, O, та випишемо усі відрізки, які утворилися:
AK, AL, AM, AN, AO, AB, KL, KM, KN, KO, KB, LM, LN, LO, LB, MN, MO, MB, NO, NB, OB - всього утворилося 21 відрізок.
Тут можна помітити арифметичну прогресію: нехай n - загальна кількість точок на прямій, тоді
.
Відповідь:21.
Далі проаналізуємо приклади на визначення кутів, відрізків, пропорцій і більш складні задачі, які без знання основ, що тут наведені розглядати не варто.
Учіться і гарних Вам результатів!
