Знайти прискорення вантажу

Задача 4, 3.11 На барабан масою 9 кг намотано шнур, до кінця якого прив'язаний вантаж масою 2 кг.
Знайти прискорення вантажу.
Барабан вважати однорідним диском.
Тертям знехтувати.

Дано:
m₁=9 кг;
m₂=2 кг.

Розв’язання:

За ІІ законом Ньютона запишемо рівняння руху вантажу:
, де a - прискорення і m₂=2 кг - маса вантажу;
- рівнодійна сил на вантаж,
де - сила натягу шнура.
З рівноваги сил дістанемо
.
Спроектуємо останнє рівняння на вісь y: ,
звідси . (*)

Запишемо рівняння динаміки обертового руху барабана:

де - момент інерції барабану;
- кутове прискорення і R - радіус барабану.

Знайти:
a

З іншої сторони, оскільки барабан нерухомий, то M=T·R, звідси маємо
, звідки отримуємо натяг нитки

З рівняння (*):

виражаємо прискорення вантажу:

(Цю задачу можна розв'язати за допомогою закону збереження енергії:
, де - потенціальна енергія вантажу;
- кінетична енергія обертового руху барабана;
- кінетична енергія поступального руху вантажу, звідси
, отже ).
Відповідь: a=3,02 м/с².