При знаходженні визначників другого, третього порядку можна користуватися стандартними формулами (різниця добутку діагональних елементів, правило трикутника). Однак для обчислення визначника четвертого, п'ятого порядку та старших набагато швидше розкласти їх за елементами рядка чи стовпця, що містить найбільше нулів та звести до обрахунку декількох визначників на одиницю меншого порядку. Якщо нульових елементів немає, то їх можна утворити за допомогою елементарних перетворень над визначниками.
Схеми знаків при мінорах для детермінантів 3-го – 5-го порядку наведено нижче.
Їх не важко запам'ятати, якщо знати наступні правила:
1. Доповнення до елементів головної діагоналі йдуть зі знаком «+», а на паралельних діагоналях чергуються «-», «+», «-», ...
2. Доповнення до елементів непарних стовпців та рядків починаються зі знаку «+», а далі чергуються «-», «+», для парних починаються зі знаку «-», а далі почергово змінюються «+», «-»,...
Другим правилом користується більшість студентів, оскільки воно прив'язане до стовпця чи рядка за яким здійснюється розклад визначника.
Перейдемо до розгляду прикладів розкладу детермінантів та вивчення особливостей цього методу.
Приклад 1. Розкласти визначник третього порядку за елементами першого рядка та другого стовпця
Розв'язання. Проводимо розклад за елементами першого рядка
Подібним чином виконуємо обчислення розкладу за елементами другого стовпця
Обидва значення однакові, а значить розрахунки проведені правильно. Якщо у Вас вийде, що визначники отримані розкладом по рядку і стовпцю не співпадають – значить десь допущена помилка і потрібно перерахувати або знайти її.
Приклад 2. Знайти визначник четвертого порядку методом розкладу
Розв'язання. Розкладемо визначник матриці за елементами третього рядка (виділений червоним), та як в ньому найбільше нульових елементів.
Визначники, що входять в розклад знаходимо за правилом трикутників
Знайдені значення підставляємо та сумуємо
На цьому прикладі метод розкладу показав свою ефективність та простоту. Стандартні правила виявилися б надто громіздкими в обчисленнях.
Приклад 3. Знайти визначник п'ятого порядку методом розкладу
Розв'язання. Як і впопередньому завданні, шукаємо рядок чи стовпець, що містить максимальну кількість нульових елементів. Проводимо розпис визначника
Отриманий визначник розкладемо за четвертим рядком
та обчислюємо його складові
Підставляємо в вихідний детермінант та спрощуємо
Метод розкладу визначника за елементами рядків чи стовпців є найшвидшим при обчисленні визначників великих розмірів. Замість громіздких та складних обчислень, в яких висока вірогідність допустити помилку, відшукання визначника зводиться до великої кількості простих операцій, які під силу кожному.
Вас може зацікавити:
