ЗНО. Логарифмічні нерівності

Хто не проходив ЗНО тести, той ніколи не зрозуміє, скільки очікувань на надій покладають учні та батьки, до нього готуються онлайн, з репетиторами, самостійно. І все заради високих прохідних балів, гарантованих місць у ВУЗах та можливості отримати добру вищу освіту.
На заваді цьому можуть стати приклади, деталі обчислень яких далі проаналізуємо.

Приклад 17.19 Розв'язати нерівність
(x-2)log_0,5x≤0.

Розв'язування: ОДЗ: x>0.
Використаємо метод інтервалів. Розв'яжемо відповідне рівняння:
(x-2)log_0,5x=0, тобто log_0,5x=0, або x-2=0.
Тоді x₁=1 і x₂=2.
Нанесемо корені на числову пряму і визначимо знак на кожному інтервалі.

З врахуванням ОДЗ, запишемо розв'язки нерівності:
x∈(0;1]∪(2;+∞0].
Відповідь: (0;1]∪(2;+∞0] – В.

Приклад 17.23 Установити відповідність між нерівностями (1–4) та рівносильними їм нерівностями або системами (А–Д).

Розв'язування: Наведені номери ЗНО тестів мають по 4 логарифмічні нерівності, схеми яких дуже добре розписані раніше.
Тому обчислення нерівностей розбирайте самостійно з таблиці:

Приклад 17.27 Установити відповідність між нерівностями (1–4) та множинами їх розв’язків (А–Д).

Розв'язування: Нерівності даного типу  слід розкривати, перш за все, шляхом аналізу ОДЗ логарифмів. Вирази в дужках містять функції від змінної, які повинні бути додатними. Крім того, за значенням основи по відношенню до одиниці, слідкуйте за правильністю знаків при опусканні логарифмів.

Приклад 17.30 Розв’язати нерівність lg(x-2)+lg(27-x)<2. У відповідь записати найбільший цілий розв’язок нерівності.
Розв'язування: Суму логарифмів замінимо логарифмом добутку
ln(a)+ln(b)=ln(a•b).
В правій частині домножимо на одиницю, яку замінимо логарифмом основи.
Далі записуємо ОДЗ логарифмів + квадратичну нерівність, яку розкриваємо шляхом обчислення квадратного рівняння:

Наносимо знайдені точки на числову вісь та враховуємо ОДЗ

x∈(2;7)∪(22;27).
x=26 - найбільший цілий розв'язок нерівності.
Відповідь: 26.

Приклад 17.32 Розв’язати нерівність
lg²(-x)+lg_x2-3<0.
У відповідь записати кількість цілих розв’язків нерівності.
Розв'язування: Зведемо нерівність з логарифмом до квадратної

Заміна: lg(-x)=t
t²+2t-3<0
t²+2t-3=0
за теоремою Вієта:
t₁=1; t₂=-3.

t∈(-3;1)
Повернемося до логарифмів:

Будуємо множину коренів

x∈(-10;-0,001).
Випишемо усі цілі розв’язки нерівності:
-9; -8; -7; -6; -5; -4; -3; -2; -1.
їх кількість =9.
Відповідь: 9.

Приклад 17.36 Розв’язати нерівність
log_x2•log₂x²•log₂4x>1.
У відповідь записати найменше натуральне число, яке не є розв’язком нерівності.
Розв'язування: Спростимо добуток логарифмів log_x2•log₂x²•log₂4x за допомогою формули переходу до іншої основи:

Перетворень далі багато, тому можете паралельно підрахувати скільки властивостей тут використали:

Заміна log₂x=t,


t∈(-√2;-1)∪(0;√2).
Повертаємося до заміни log₂x=t:


Будуємо інтервали розв'язків 2^(-√2)<x<0,5 і 1<x<2^√2

x∈(2^-√2;0,5)∪(1;2^√2).
x=1 – найменше натуральне число, яке не є розв’язком нерівності.
Відповідь: 1.

Такого плану логарифмічні нерівності дозволяють добре підготувати учнів 10-11 класів до олімпіад та контрольних робіт. Крм того, уважно вчитуйтесь в пояснення, вчіться грамотно оформляти розв'язки.

Приклад 17.37 Розв’язати нерівність
x^(3x-1)/(2-x)>1.
У відповідь записати найменше натуральне число, яке не є розв’язком нерівності.
Розв'язування: Маємо показникову нерівність, яку шляхом логарифмування спрощуємо до звичайної

Розв’яжемо рівняння
(3x-1)/(x-2)•lg(x)=0,
причому ОДЗ: x>0 і x≠1, x≠2.
3x-1=0 і lg(x)=0,
3x=1 і lg(x)=lg1,
звідси x₁=1/3 і x₂=1.
Нанесемо розв’язки x₁=1/3, x>0, x≠1; x≠2 на числову пряму і визначимо знаки на інтервалах:

x∈(0;1/3)∪(1;2).
x=1 – найменше натуральне число, яке не є розв’язком нерівності.
Відповідь: 1.

Використовуйте сайт для онлайн підготовки до ЗНО тестів та гарних Вам результатів!