Сьогодні розберемо готові приклади на системи рівнянь (СР), які Ви мали би вміти розв'язувати при проходженні ЗНО тестів для вступу у ВУЗи. Всього таких прикладів понад 40, всіх помістити в одну статтю не вийде, тому далі розберемо прості завдвння. Складніші системи рівнянь з логарифмами, показниковими функціями та модулями будуть розписані в наступних публікаціях.
Приклад 20.1 Розв'язати систему рівнянь {x+3y=14;2y-x=6}
і знайти добуток компонентів розв'язку.
Обчислення: Розв'яжемо систему рівнянь методом додавання:
поміняємо порядок доданків другого р-ня, а далі
додамо почленно обидва рівняння, отримаємо
(x-x)+(3y+2y)=14+6,
5y=20,
y=20:5=4
У перше рівняння системи підставимо значення y=4 і знайдемо "ікс" x:
x+3•4=14,
x+12=14,
x=14-12=2.
Отже, (2;4) - розв'язок системи рівнянь.
Тоді 2•4=8 - добуток компонентів розв'язку.
Відповідь: 8 – В.
Складні системи рівнянь часто вирішують числовим або графічним методом. Для прикладу, система рівнянь {x+3y=14;2y-x=6} задає дві прямі на декартовій площині, щоб їх побудувати виразимо з системи "ігрик" як функцію від "ікс" {y=14/3-x/3, y=x/2+3} та побудуємо графіки прямих в Мейпл
Точка перетину прямих за фізичним змістом і є шуканим розв'язком розглянутої системи рівнянь.
Приклад 20.2 Дано систему 2 рівнянь {x+y=3; 2x-3y=-4}. Яке утвориться рівняння, якщо з першого рівняння виразити змінну y через x, і отриманий вираз підставити у друге рівняння замість y?
Обчислення: Розв'яжемо систему
методом підстановки:
підставимо перше рівняння у друге, отримаємо
2x-3•(3-x)=-4,
2x-9+3x=-4,
звідси
5x-9=-4.
Це і є відповідь до ЗНО тесту, додатково можемо знайти
x=1 і y=2 – розв'язок системи рівнянь.
Відповідь: 5x-9=-4 – Д.
Приклад 20.3 Знайти суму компонентів x0+y0+z0 розв'язку системи трьох лінійних рівнянь
{x+y=-2, y+z=-11, x+z=1}
Обчислення: Обчислимо систему 3 рівнянь методом підстановки:
підставимо перше і третє рівняння у друге кінцевої системи, отримаємо
Звідси, (5;-7;-4) розв'язок заданої системи рівнянь.
Тоді x0+y0+z0=5+(-7)+(-4)=-6.
Відповідь: -6 – А.
Приклад 20.4 Розв'язати систему рівнянь
{3x+4y=-20, 5x+2y=-10}
Обчислення: Обчислимомо систему рівнянь методом додавання, для цього помножимо друге рівняння системи на -2:
додамо почленно обидва рівняння, отримаємо
(3x-10x)+(4y-4y)=-20+20,
-7x=0,
x=0.
У перше рівняння системи підставимо значення x=0 і знайдемо y:
3•0+4y=-20,
4y=-20,
y=-20:4=-5.
Точка (0;-5) - розв'язок СР.
Відповідь: (0;-5) – Б.
Приклад 20.5 Знайти середнє арифметичне для значень чисел x та y, які є розв'язками системи рівнянь {3x+2y=7; -x+3y=16}.
А | Б | В | Г | Д |
3 | 2 | 1 | 4 | 3,5 |
Обчислення: Розв'яжемо систему рівнянь
методом додавання, для цього помножимо друге рівняння на 3:
додамо почленно обидва рівняння, отримаємо
(3x-3x)+(2y+9y)=7+48,
11y=55,
y=55:11=5.
У перше рівняння системи підставимо значення y=5 і знайдемо x:
3x+10=7,
3x=-3,
x=-1.
В підсумку, (-1;5) - розв'язок заданої системи рівнянь.
Тоді (x+y)/2=(-1+5)/2=2 – середнє арифметичне для значень чисел x та y.
Відповідь: 2 – Б.
Від систем лінійних рівнянь переходимо до тих, що містять обернені функції, корені, квадратичні та показникові функції.
Приклад 20.6 Знайти компонент x0 розв'язку (x0;y0) системи рівнянь
А | Б | В | Г | Д |
3 | 1/3 | 147 | 91 | 1 I 6/7 |
Обчислення: Оскільки невідомі містяться в знаменниках дробів, то виписуємо обмеження на область допустимих значень (ОДЗ): {x≠0;y≠0}.
Розв'яжемо систему рівнянь методом додавання, для цього помножимо перше рівняння на 3 і додамо почленно до другого рівняння:
(1/3;-1/2) - розв'язок СР, в умові потрібно знайти x0.
Відповідь: 1/3 – Б.
Приклад 20.7 Скільки розв'язків має система рівнянь
?
А | Б | В | Г | Д |
Один | два | три | чотири | жодного |
Обчислення: Розпишемо систему рівнянь методом додавання, для цього помножимо перше рівняння на 2 і додамо почленно до другого рівняння:
Число під квадратом може приймати як додатне так і від'ємне значення, пам'ятайте про це, тому комбінації правильних розв'язків наступні
Всього чотири розв'язки (1;2), (-1;2), (1;-2) і (-1;-2) - заданої СР.
Відповідь: чотири – Г.
Приклад 20.9 Розв'язати систему рівнянь 
і вказати добуток компонентів їх розв'язку.
А | Б | В | Г | Д |
34 | 128 | 64 | 15 | 225 |
Обчислення: Виписуємо ОДЗ кореневих функцій: {x≥0;y≥0}
Розв'яжемо систему рівнянь комбінованим методом: підстановки та додавання.
Звідси (25;9) - розв'язок системи рівнянь, тоді 25•9=225 – добуток компонентів розв'язку.
Відповідь: 225 – Д.
Приклад 20.10 Розв'язати систему рівнянь {3^(x+y)=27; 4^(x-y)=0,25} і вказати компонент x0 її розв'язку (x0;y0).
А | Б | В | Г | Д |
0 | -1 | 1 | 2 | -2 |
Обчислення: Зведемо систему показникових рівнянь до однієї основи в р-нях
При однакових основах прирівнюємо степені та переходимо до обчислення системи 2 лінійних рівнянь методом додавання.
(1;2) - розв'язок СР, звідси x0=1 – перший компонент розв'язку.
Відповідь: 1 – В.
Приклад 20.21 Скільки розв'язків має система рівнянь {xy=6; yz=8; zx=12}
?
А | Б | В | Г | Д |
Один | два | три | чотири | жодного |
Обчислення: Задано систему трьох рівнянь з трьома невідомими, для її розкриття виразимо "ікс" та "зет" з перших двох рівнянь, та підставимо в третє.
Підстановкою "ігриків" знаходимо (3;2;4) і (-3;-2;-4) - два розв'язки системи рівнянь.
Відповідь: два – Б.
Приклад 20.26 Установити відповідність між системами рівнянь (1–4) та рівняннями (А–Д), які утворюються з цих систем при їх розв'язуванні способом підстановки.
Системи рівнянь із ЗНО підготовки розв'яжемо методом підстановки. Детальні пояснення самостійно проаналізуйте з таблиці
Приклад 20.27 Установити відповідність між системами рівнянь (1–4) та першими компонентами x0 розв'язків (x0;y0) цих систем (А–Д). 
Дане завдання містить системи обернених, степеневих, кореневих та логарифмічних функцій. Для розв'язування систем рівнянь використовуємо властивості вказаних функцій.
Приклад 20.40 Розв'язати систему рівнянь
У відповідь записати найбільшу суму x0+y0+z0, де (x0;y0;z0) - розв'язок системи.
Обчислення: Маємо систему трьох рівнянь з трьома невідомими, з перших двох рівнянь виражаємо x, z та підставляємо у третє
Отримаємо два розв'язки СР
(2;0,5;4) і (-2;-0,5;-4).
Обчислимо найбільше значення x0+y0+z0:
x0+y0+z0=2+0,5+4=6,5.
Відповідь: 6,5.
Решта із 44 готових прикладів на системи рівнянь чекає вашої уваги в наступних уроках. Пояснення, що ми підготували, дозволять Вам вивчити самостійно усі можливі технічні прийоми, що потрібні для розв'язування найважчих систем рівнянь.
