Рівняння з параметром, квадратні та лінійні рівняння

Продовжуємо розгляд пояснень до 35 прикладів на раціональні рівняння.
Сьогодні розберемо завдання на складання рівнянь, обчислення рівнянь з параметром, квадратні р-ня, сума їх коренів.
Завдання залишаються актуальними при підготовці до тестів, екзаменів, вступних іспитів.

Ви можете безкоштовно завантажити відповіді (Посібник для підготовки до зовнішнього незалежного тестування з математики).

Автори: Анатолій Капіносов, Галина Білоусова, Галина Гап'юк, Сергій Мартинюк, Лариса Олійник, Петро Ульшин, Олег Чиж

Зміст: Посібник містить поради щодо проходження ЗНО з математики, базові формули та означення та подібні до тестових завдання.
Усі задачі однієї теми розміщені в порядку зростання складності.
Рекомендуємо всім завантажити відповіді до ЗНО та самостійно пройти теми, з якими маєте труднощі на практичних.

Тема 8. Цілі раціональні рівняння

Переходимо до завдань в яких за умовою задачі потрібно скласти рівняння та розв'язати його.

Приклад 8.9 У першій пачці зошитів було удвічі більше, ніж у другій. Коли з другої пачки переклали до першої 10 зошитів, то в другій стало в 4 рази менше зошитів, ніж у першій.
Скільки зошитів було у другій пачці?
Яке з наведених рівнянь відповідає умові задачі, якщо кількість зошитів у другій пачці позначено через x?

Обчислення: Складемо коротку умову задачі:
x – кількість зошитів, які були у другій пачці;
2x – кількість зошитів, які були у першій пачці;
x-10 – кількість зошитів, які забрали з другої пачки;
2x+10 – кількість зошитів, які поклали до першої пачки.
Якщо в другій пачці стало в 4 рази менше зошитів, то в першій – навпаки, в 4 рази більше, ніж у другій, звідси отримаємо рівняння:
2x+10=4(x-10).
Його розв'язок рівний x=25.
Відповідь: 2x+10=4(x-10) – Г.

Приклад 8.10 Одну й ту ж відстань один автомобіль проїхав за 3 год, а інший – за 2 год. Знайти швидкість руху автомобіля, який їхав повільніше, якщо його швидкість на 24 км/год менша від швидкості іншого автомобіля. Яке з наведених рівнянь відповідає умові задачі, якщо шукану швидкість позначено через x км/год?

Обчислення: Складемо коротку умову до задачі:
x – швидкість руху І автомобіля (який їхав повільніше);
x+24 – швидкість руху ІІ автомобіля (який їхав швидше);
3x – відстань, яку проїхав І автомобіль;
2(x+24) – відстань, яку проїхав ІІ автомобіль.
Але в умові сказано, що два автомобілі проїхали однакову відстань, тому складемо рівняння:
3x=2(x+24).
З рівняння можна встановити, що x=48.
Відповідь: 3x=2(x+24) – В.

Приклад 8.11 У першості з волейболу було зіграно 21 матч, при цьому кожна команда зіграла з іншою по одному разу. Скільки команд брало участь у першості? Яке з наведених рівнянь відповідає умові задачі, якщо кількість команд позначено через x?

Обчислення: Складемо коротку умову задачі:
x – кількість команд, що брало участь у першості;
Кожна команда могла зіграти матч з x-1 кількістю команд (оскільки із самою собою вона не грала).
Оскільки в одному матчі беруть участь зразу дві команди, то кількість матчів x(x-1)/2, а за умовою задачі їх 21, тому складемо рівняння:
x(x-1)=21.
При обчисленнях можна встановити, що x=7.
Відповідь: x(x-1)/21 – Б.

Приклад 8.12 За якої умови рівняння ax+b=cx+d не має коренів?

Обчислення: Перетворимо залежність окремо згрупувавши вирази, що містять "ікс" та сталі по другу сторону рівності
ax-cx=d-b,
(a-c)•x=d-b.
Задане рівняння не має коренів, якщо коефіцієнт при "ікс" рівний нулю, а вільний член відмінний від нуля

Записуємо результат.
Відповідь: – Г.
На тестах такі завдання можуть забрати у Вас кілька необхідних балів, тому проаналізуйте їх уважно.

Приклад 8.13 Коренем рівняння kx=3 є число 0,2.
Знайти корінь рівняння kx=-1.

Обчислення: Схема обчислення задачі полягає в наступному:
з першого рівняння знайдемо k, бо відомо, що x1=0,2:
k=3/x1, звідси k=3/0,2=15.
З другого рівняння знайдемо x2, бо знаємо, що k=15:
x2=-1/k, отже x2=-1/15.
Відповідь: -1/15 – А.

Приклади на рівняння з параметром

Уважно їх перегляньте, оскільки на тестах мало хто за подібні завдання береться через їх важкість або нерозуміння умови.

Приклад 8.14 Знайти значення параметра a, за якого рівняння (a²-1)x=a²+5a-6 має безліч коренів.

Обчислення: Задане рівняння з параметром (a²-1)x=a²+5a-6 має безліч коренів, якщо одночасно коефіцієнт при "ікс" та вільний член рівні нулю. Звідси отримаємо систему квадратних рівнянь, розв'язування якої наведено у формулі

Параметр a=1 є спільним розв'язком, отже і шуканим значенням.
Відповідь: 1 – А.

Приклад 8.15 За якого значення параметра a рівняння a²x²-2a²=49x+14a має єдиний корінь?

Обчислення: Задане рівняння з параметром перетворимо, попередньо згрупувавши доданки, що містять "ікс" по одну сторону від знаку рівності.
Подальші розрахунки містить формула

Таким чином, задане рівняння має єдиний корінь, якщо коефіцієнт при "ікс" відмінний від нуля:

Вирізаємо знайдені точки з осі дійсних чисел, таким чином отримаємо декілька інтервалів значень параметра a, за яких рівняння a²x²-2a²=49x+14a має єдиний корінь

Відповідь: – Д.

Приклад 8.16 За якого значення t значення виразу -0,3t+18 на 5 більше від значення виразу 0.1t+1?

Обчислення: За умовою завдання складемо рівняння і знайдемо значення t:
-0,3t+18=(0,1t+1)+5,
-0,3t+18=0,1t+6;
0,1t+0,3t=18-6;
0,4t=12,
t=12/0,4=120/4=30.
Відповідь: 30 – В.

Приклад 8.17 Знайти суму коренів рівняння |4x-8|+|2-x|=4.

Обчислення: Перетворимо рівняння з двома модулями |4x-8|+|2-x|=4 до вигляду 4|x-2|+|2-x|=4.
В обох модулях фігурує одна і та ж сама точка, тому при розкритті модулів отримаємо рівняння

Як бачимо обидва корені задовольняють умові на ОДЗ.
Отож, сума коренів рівняння:
x1+x2=2,8+1,2=4.
Відповідь: 4 – Г.

Приклад 8.18 Знайти корінь рівняння |x-1|+|x+3|=6,2, який належить проміжку .

Обчислення: Оскільки корінь рівняння повинен належати інтервалу від мінус безмежності до мінус трьох, то модуль будемо відкривати при умові x+3<0, а відтак, x-1<0.
Розкриваємо модулі та складаємо рівняння
-(x-1)-(x+3)=6,2;
-x+1-x-3=6,2;
-2x-2=6,2;
-2x=6,2+2=8,2,
x=8,2(-2)=-4,1.
Відповідь: -4,1 – А.

Приклад 8.19 Вказати всі значення параметра a, за яких рівняння |x-5|-1=a має два корені.

Обчислення: Маємо одночасно рівняння з параметром + з модулем.
В залежності від знаку підмодульної функції рівняння можна розділити на наступні 2.
Обчислення кожного наведено у таблиці

Звідси слідує, що при a>-1 рівняння |x-5|-1=a має два корені.
При a=-1 задане рівняння матиме один корінь, а саме x=5.
Відповідь: a>-1 – Д.

Приклад 8.20 Знайти всі значення параметра a, за яких один з коренів рівняння x²+2ax+a²=0 дорівнює -2.

Обчислення: Запишемо дане квадратне рівняння у вигляді квадрату одночлена
x²+2ax+a²=0;
(x+a)²=0;
x+a=0.
При заданому корені отримаємо
-2+a=0, звідси a=2.
Відповідь: a=2 – Б.

Приклад 8.21 За яких значень m рівняння 4x²+2x-m=0 має тільки один корінь?

Обчислення: Квадратне рівняння має один корінь, якщо його дискримінант = 0.
Випишемо коефіцієнти цього рівняння 4x²+2x-m=0:
a=4, b=2 і c=-m.
Запишемо дискримінант та прирівняємо його до нуля

Звідси отримаємо лінійне рівняння відносно параметра
1+4m=0,
4 m=-1, отже при m=-1/4, або при параметрі рівному m=-0,25 квадратне рівняння матиме один корінь.
Відповідь: -0.25 – Г.

Приклад 8.22 Знайти всі значення параметра c, за яких рівняння 3x²-2x+c=0 має хоча б один спільний корінь з рівнянням x²+x-2=0?

Обчислення: З допомогою дискримінанту знаходимо корені квадратного рівняння:
x²+x-2=0.

Отримали два корені x1=1 і x2=-2.
Підставимо корінь x1=1 у рівняння 3x²-2x+c=0, маємо

звідси c1=-1.
Підставимо корінь x2=-2 у рівняння 3x²-2x+c=0, маємо

звідси c2=-16.
Отримали два параметри c1=-1 і c2=-16.
Відповідь: c=-16, c=-1 – В.

Приклади на формули скороченого множення

Приклад 8.23 x1 та x2 – корені квадратного рівняння x²-3x-5=0.
Не розв'язуючи рівняння, знайти x1²+x2².

Обчислення: Оскільки маємо зведене квадратне рівняння (біля x^2 стоїть коефіцієнт 1), тоді за теоремою Вієта маємо x1+x2=2 і x1•x2=-5.
Візьмемо квадрат суми коренів заданого квадратного рівняння:

Подібних прикладів для тестування можна придумати безліч, міняєте коефіцієнти та отримуєте новий результат.
Відповідь: 19 – Б.