Сьогодні на готових відповідях до ЗНО тестів будемо вчитися основним технікам розкриття логарифмічних нерівностей.
Алгоритм обчислень:
1. Виписати ОДЗ логарифмів та усіх функцій;
2. Звести нерівність до логарифмів з однією основою;
3. Розкрити нерівність зберігаючи знак, якщо основа логарифма більша за одиницю або змінити на протилежний, якщо основа менша одиниці.
Перегляньте уважно приклад та запам'ятайте, як зміниться знак при розкритті нерівності з основою логарифма менше та більше одиниці?
формула знаків нерівності при опусканні логарифмів

Основні формули розкриття логарифмічних нерівностей

Усі логарифмічні нерівності, які Вам доведеться розв'язувати, можна замінити еквівалентними за допомогою формул переходу:

формули розкриття логарифмічних нерівностей

Перейдемо до практики, всього підготовлено 50+ прикладів із ЗНО тестів від простих до складних завдань. Якщо в якийсь момент Вам буде важко розбирати формули переходу, тоді повертайтеся до попередніх двох уроків, в яких прості приклади за 10-11 клас.

Приклади розкриття нерівностей з логарифмом

Приклад 17.4 Розв'язати нерівність
log0,1(2x-1)≥log0,110-log0,12.

Розв'язування: Застосовуємо властивість, що різниця логарифмів рівна логарифму частки
loga(b)+loga(c)=log(b•c)

перетворимо праву частину

Основа менша одиниці 0,1<1, тому знак нерівності змінимо на протилежний.
З урахуванням ОДЗ логарифма (в І нерівності системи), отримаємо

Розв'язок x∈(0,5;3].
Відповідь: (0,5;3] – Г.

 

Приклад 17.5 Знайти множину розв’язків нерівності
log(sin1)>2log(sin(7))

Розв'язування: Внесемо множник під логарифм за правилом c•logab=logabc

Основа менша одиниці sin(1)<1, тому знак при опусканні логарифмів змінимо на протилежний.
Випишемо ОДЗ логарифма x>0 + розкриття нерівності з логарифмом
{x>0, x<49}⇔ 0<x<49.
Будуємо множину розв'язків на числовій осі

та записуємо інтервалом x∈(0;49).
Відповідь: (0;49) – Б.

Приклад 17.6 Знайти множину розв’язків нерівності
log5x<2.

Розв'язування: Скористаємося властивістю  логарифм основи рівний одиниці
logaa=1

Основа більша одиниці 5>1, тому знак залишимо без змін.
З врахуванням ОДЗ, отримаємо
{x>0,x<25}⇔ 0<x<2549.
Розв'язок нерівності

x∈(0;25).
Відповідь: (0;25) – В.

 

Приклад 17.10 Розв'язати нерівність
(1/5)^log1/5(2-x)<2.

Розв'язування: Спростимо показниковий вираз за формулою основної логарифмічної тотожності
a^logab=b:
логарифмічна показникова нерівність
Перша умова 2-x>0 є врахування ОДЗ логарифма, про неї не забувайте.
Розв'язок x∈(0;2).
Відповідь: x∈(0;2) – Г.

 

Приклад 17.16 Знайти множину розв'язків нерівності
logx5<1.

Розв'язування: Логарифм основи рівний =1, це що до способу перетворення правої сторони
logx5<1,
logx5<logxx
.
Нерівність еквівалентна двом системам нерівностей:

1. 0<x<1

У нерівності змінимо знак на протилежний.
5>x,
x<5.

З урахуванням умови ОДЗ:
0<x<1.

2. x>1

Знак нерівності залишимо без змін.
5<x,
x>5.

ОДЗ враховано:
x>5.

Отримали множини розв'язків
0<x<1 і x>5

Інтервальний запис x∈(0;1)∪(5;+∞).
Відповідь: (0;1)∪(5;+∞) – Б.

 

Приклад 17.20 Розв'язати нерівність xx<1, якщо x>0, застосувавши логарифмування.

Розв'язування: Уважно перегляньте та запам'ятайте метод логарифмування:
xx<1,
lg(xx)<lg(1)

Оскільки основа десяткового логарифма 10>1 , то при логарифмуванні знак нерівності не змінився.
x•lg(x)<0.
ОДЗ: x>0.
Застосуємо метод інтервалів, розв'яжемо відповідне рівняння:
x•lg(x)=0, тобто lg(x)=0, або x=0.
x1=1, x2=0.
Отримані корені відкладемо на числовій осі та визначимо знаки на інтервалах.
Розв'язки нерівності:

x∈(0;1).
Відповідь: (0;1) – В.

Приклад 17.28 Установити відповідність між нерівностями (1–4) та множинами їх розв'язків (А–Д).

Розв'язування: Права сторона нерівностей з логарифмом рівна нулю, тому тут слід застосувати властивість логарифма:
loga1=0.
Схеми зведення до простих нерівностей наведені в таблиці.
логарифмічні нерівності, ЗНО підготовка
ЗНО, нерівності з логарифмом

Приклад 17.11 Скільки цілих розв'язків має нерівність -2<log1/2x<3?

А

Б

В

Г

Д

Один

два

три

жодного

більше, ніж три

Розв'язування: Маємо двосторонню нерівність з логарифмом, замінюємо її системою еквівалентних нерівностей та зводимо до однієї основи
подвійна логарифмічна нерівність
Складаємо систему нерівностей:
1. Враховуємо ОДЗ x>0.
2. Розкриваємо логарифмічні нерівності пам'ятаючи, що слід змінити знак на протилежний, оскільки основа менша одиниці 1/2<1.
спрощення нервності
Сумарно маємо 1/8<x<4,

звідси x∈(1/8;4).
Випишемо усі цілі розв'язки:
1; 2; 3.
Їх кількість =3.
Відповідь: три – В.

 

Приклад 17.31 Розв'язати нерівність
lg(x)+6logx10≤5.
У відповідь записати кількість цілих розв'язків нерівності.
Розв'язування: За формулою переходу до іншої основи
формула переходу до другої основи, логарифм
в другому логарифмі міняємо x з 10-кою місцями, далі сумуємо доданки та переходимо до квадратної нерівності від логарифмів:

заміна lg(x)=t, де t≠0,
t(t2-5·t+6)≤0.
Застосовуємо метод інтервалів для розкриття нерівності
t2-5·t+6=0.
за теоремою Вієта:
t1=2, t2=3.
На числову вісь наносимо точки та, шляхом підстановки, з'ясовуємо знаки нерівності на проміжках від мінус нескінченності до плюс
метод інтервалів, нерівність з логарифмом
t∈(-∞;0)∪[2;3].
Не забуваємо про заміну та повертаємося до логарифмів:
обчислення логарифмічної нерівності
0<x<1; 100≤x≤1000.

Розв'язком є два інтервали x∈(0;1)∪[100;1000].
Від тисячі перших додатних чисел віднімемо перші 99, які не є розв'язками нерівності:
1000-99=901– кількість цілих значень.
Відповідь: 901.

Ви тільки що розглянули нерівності звідні до простих, далі підуть логарифмічні нерівності звідні до квадратних, з модулями, та складні приклади із ЗНО тестів.