Показникові рівняння звідні до простих

Сьогодні розберемо перші завдання з курсу ЗНО підготовки, які методом нескладних перетворень можна звести до показникових рівнянь з однаковими основами:
a^f(x)=a^b,
подальші обчислення зводяться до прирівняння показників, і якщо немає обмежень на ОДЗ функції f(x) у вsдповідь записуємо корені рівняння f(x)=b.
Необхідний мінімум властивостей показникових функцій, якими Ви повинні вміти оперувати наведено на рисунку нижче

Далі ідуть пояснення до прикладів із ЗНО тестів.

Приклад 14.1 Розв'язати рівняння 4^x=8.

Розв'язування: Маємо показникове рівняння найпростішого типу, яке розв’язуємо методом зведення до однакової основи обох частинах рівняння:
4^x=8,
(2²)^x=8,
2^2x=2³
далі при рівних основах прирівняємо показники:
2x=3, звідси x=3/2.
Відповідь: 3/2 – В.

Приклад 14.2 Розв'язати рівняння 5^x-9=5 і 3^x-3=0 та вказати суму їх коренів.

Розв'язування: Бачимо, що основи в рівнянь рівні між собою, тому прирівнюємо степені та знаходими "ікси"

x₁+x₂=10+1=11 – сума коренів.
Відповідь: 11 – Д.

Приклад 14.3 Розв'язати рівняння (1/2)^x+2=4^2x і 4^3x+1=8^-2x-1 та вказати інтервал, який містить їх корені.

Розв'язування:  Алгоритм обчислень один і той самий: через елементарні перетворення перетворюємо основи до спільної для обох сторін рівняння, після чого прирівнюємо показники.

Далі перевіряємо, якому із запропонованих у ЗНО відповідях інтервалів належать обидва розв'язки: (-1,0).
Відповідь: (-1,0) – В.

Приклад 14.9 Розв'язати рівняння 6^(x+1)=3^(x+1) і 2^(x-5)=8^(x-5) і знайти суму їх коренів.

Розв'язування: Даний тип показникових рівнянь розв'язуємо методом ділення однієї з частин рівняння на менший з виразів, що містить "ікси" в показнику.

За властивістю показникових функцій одиницю всюди заміняйте основою в нульовому степені.
x₁+x₂=-1+5=4 – сума коренів.
Відповідь: 4 – А.

Приклад 14.11 Знайти суму коренів рівняння 5^2x-6•5^x+5=0.

Розв'язування: Перепишемо рівняння у вигляді

та зведемо до квадратного заміною змінних 5^x=t, де t>0:
t²-6t+5=0.
За формулами Вієта:
t₁+t₂=6 – сума коренів квадратного рівняння:
t1•t2=5 – їх добуток.
Підбираємо розв'язки
t₁=1 і t₂=5.
повертаємося до заміни t=5^x та обчислюємо показникове рівняння
5^x=1,
5^x=50,
x₁=0.

5^x=5
5^x=5¹,
x₂=1.
корені рівняння x₁=0 і x₂=1
x₁+x₂=1 – шукана сума.
Відповідь: 1 – А.

Приклад 14.12 Встановити кількість коренів рівняння
 

Розв'язування: Перетворимо перший доданок за властивостями показників

Бачимо, яку заміну змінних слід застосувати:
3^x²=t (де t>0)
щоб звести задане рівняння до квадратного
t²-12t+27=0.
За формулами Вієта запишемо:
t₁+t₂=12 – суму коренів р-ня;
t₁•t₂=27 – їх добуток.
Звідси отримаємо
t₁=3 і t₂=9 – розв'язки квадратного рівняння.
Повертаємося до заміни t=3^x² та розписуємо прості показникові рівняння:

x₁=1; x₂=-1; x₃=√2; x₄=-√2 – корені рівняння, їх кількість = 4.
Відповідь: чотири – Д.

Приклад 14.28 Установити відповідність між рівняннями (1–4) та сумами їх коренів (А–Д).

Рівняння зводимо до простих показникових методом виділення НСК, який рівний 2^x для усіх заданих прикладів. Після цього, множники при 2^x переносимо в праву сторону та спрощуємо.
Весь хід розрахунків детально розписаний далі:

Приклад 14.29 Розв'язати рівняння

Розв'язування: Зведемо дроби до спільної основи =2 в певному степені:

В такий спосіб отримаємо просте показникове рівняння відносно змінної x.

Його розв'язок рівний 4.
Відповідь: 4.

Приклад 14.42 Розв'язати рівняння

У відповідь записати найбільший корінь рівняння.
Розв'язування: Маємо змінну під модулем у степені рівному дробовій функції, а права частина рівна нулю. Для показникових функцій це рівносильно тому, що або основа рівна 1 або показник =0.
Спершу обмежуємо множину розв'язків умовою, що знаменник в показнику не дорівнює нулю:
ОДЗ: x-6≠0, x≠6.
Далі виписуємо два рівняння та розв'язуємо їх:

Дехто з учнів без вагань запише x₁=6 , як найбільший розв'язок завдання серед знайдених.
Але Ви не перевіряли ОДЗ, або можливо при розв'язуванні опустили цю процедуру.
ОДЗ виключає даний корінь x≠6.
Тому x₂=4 – найбільший корінь рівняння.
Якщо не виписуєте ОДЗ, тоді після розрахунків виконуйте підстановку та перевіряйте чи отримуєте тотожність, чи особливість.
На ЗНО тестах є багато завдань, де Ви можете добре обчислити, але неправильно трактувати, що від Вас вимагають і вписати помилкову відповідь. Про це у нас є окрема стаття, яка якраз вчить на чому Вас можуть підловити на тестах, контрольних, олімпіадах.
Відповідь: 4.

Попереду ще десятки розв'язаних прикладів, які навчать обчислювати показникові рівняння при різних основах, познайомлять з рівняннями звідними до квадратних та іншими методами розкриття показникових рівнянь.