Показникові нерівності. 10-11 клас

Теорема 1: Якщо основа більша одиниці a>1
Показникова нерівність a^f(x)>a^g(x) рівносильна нерівності f(x)>g(x).
a^f(x)<a^g(x)⇔f(x)<g(x).a>1
Це ж саме правило стосується нестрогих показникових нерівностей:
при рівних основах в нерівностях прирівнюємо показники
a^f(x)≤a^g(x)⇔f(x)≤g(x);
a^f(x)≥a^g(x)⇔f(x)≥g(x).

Теорема 2: Якщо основа менша одиниці 0<a<1
Показникова нерівність a^f(x)>a^g(x)рівносильна нерівності з протилежним знаком f(x)<g(x).
a^f(x)<a^g(x)⇔f(x)>g(x). 0<a<1
a^f(x)>a^g(x)⇔f(x)<g(x)
Для нестрогих показникових нерівностей записуємо формули розкриття:
a^f(x)≤a^g(x)⇔f(x)≥g(x);
a^f(x)≥a^g(x)⇔f(x)≤g(x).
Теореми можна вивести, знаючи властивості функцій. Тому спершу наведемо графіки показникових функцій та правила додавання та множення степенів

Ви повинні вивчити та знати виділені формули, які показують за якими правилами обчислювати степені.

Показникові нерівності звідні до простих

Приклад 15.1 Розв'язати нерівність 5^x>5.

Розв'язування: Основа більше одиниці 5>1 та показникова функція 5^x зростає на всій множині, тому при рівних основах прирівнюємо показники, залишаючи знак нерівності без змін:
5^x>5¹;
x>1.
Наносимо розв'язки показникової нерівності на числову вісь:

та записуємо в інтервальній формі x∈(1;+∞).
При строгій нерівності краї інтервалів не входять в множину розв'зків, ставимо круглі скобки (),
при нестрогій нерівності крайні точки є розв'язками нерівності, їх обрамляємо в квадратні скобки [].
Для плюс мінус безмежності завжди використовуйте круглі скобки (-∞,...,+∞).
Серед тестових відповідей правильний варіант містить Г.
Відповідь:(1;+∞) – Г.

Приклад 15.2 Розв'язати нерівність


Розв'язування: Число π=3,14159, поділивши його на 4, дістанемо основу меншу одиниці π/4<1.
Функція (π/4)^x спадає на всій області визначення.
За другою теоремою опускаємо основи та, прирівнюючи степені, знак змінимо на протилежний:
(π/4)^x<(π/4)³;
x>3.
Будуємо числову вісь та заштриховуємо на ній множину розв'язків нерівності.

Точку x=3 не замальовуємо, оскільки нерівність нестрога.
Записуємо результат в інтервальній формі x∈(3;+∞).
Відповідь:(3;+∞) – Б.

Приклад 15.3 Знайти множину розв'язків нерівності 0,7^x<1.

Розв'язування: Маємо нерівність звідну до простої.
В правій частині маємо одиницю, яку за властивостями показникових функцій можна завжди замінити будь-якою основою в нульовому степені.
Тому задана нерівність рівносильна наступній:
0,7^x<1⇔ 0,7^x<0,7⁰,
Основи менші одиниці 0,7<1, тому при розкритті нерівності змінимо знак на протилежний для показників:
0,7^x<0,7⁰⇔x>0.
Будуємо множину розв'язків на числовій осі

та записуємо у вигляді інтервалу x∈(0;+∞).
Відповідь:(0;+∞) – Г.

Приклад 15.4 Розв'язати нерівність 2^x<1/8.

Розв'язування:Зведемо нерівність до однієї основи
2^x<1/8,
2^x<1/2³,
^x<2^-3.
Правило перенесення виразу зі знаменника в чисельник дуже просте, міняємо знак степеня на протилежний (-) і число зі знаменника переходить в чисельник дробу.
Оскільки основа більша одиниці 2>1, то з тим сами знаком прирівнюємо степені:
x<-3.
Наносимо розв'язки на числову вісь

та записуємо інтервал x∈(-∞;-3).
Відповідь:(-∞;-3) – А.

В 10 класі учні повинні знати та добре вміти розкривати наведені нерівності.

Приклад 15.5 Розв'язати нерівність 9^x+5>27^x.

Розв'язування:Бачимо, що основи зліва та справа нерівності різні, однак обидві можна представити як 3 в степені 2 та 3 відповідно.
Тому спершу працюємо зі степенями, щоб звести нерівність до однієї основи в обох її частинах.
9^x+5>27^x,
(3²)^x+5>(3³)^x,
3^2(x+5)>3^3x,
3^2x+10>3^3x.
Функція 3^x монотонно зростає на всій множині дійсних значень, основа більша одиниці 3>1, тому за правилом при рівних основах записуємо нерівність з тим же знаком для степенів
2x+10>3x,
2x-3x>-10,
-x>-10.
Тут маємо випадок на якому потрібно Вас застерегти:
потрібно поміняти знак змінної, для цього нерівність множимо на -1, що веде до зміни знаку нерівності.
-x>-10⇔ x Це правило можна вивести, якщо вирази в нерівності поміняти місцями, при перенесенні знак змінюємо на протилежний:
-x>-10;
10>x або x<10.
Наносимо розв'язки нерівності на числову вісь

та записуємо інтервал x∈(-∞;10).
Відповідь:(-∞;10) – В.

Наступні 3 завдання будуть цікавими як 10-класникам, так і учням 11 класу.

Приклад 15.6 Яка з наведених нерівностей має розв'язки?

Розв'язування:Нерівність a^x>b має розв'язки, якщо b>0 (тобто a^x>0), a>0.
А. Нерівність 7^x<-1 не має розв'язків, оскільки права сторона від'ємна -1<0, а 7^x монотонно зростаюча показникова функція 7^x>0.

Б. Розпишемо нерівність з модулем шляхом логарифмування
7^|x|<0,7,
log₇7^|x|<log₇0,7;
|x|log₇7<log₇>0,7;
|x|<log₇0,7.
Оскільки число під логарифмом менше одиниці 0,7<1, то сам логарифм від'ємний log₇0,7<0,
звідси слідує, що |x|<0.
За означенням модуля нерівність |x|<0 не має розв'язку, тому нерівність 7^|x|<0,7 також не має розв'язку.

В. За властивостями показникових функцій одиницю замінюємо 7 в нульовому степені.
7^x²<1;
7^x²<7^0;
x²<0.
Нерівність x²<0 не має розв'язку, тому показникова нерівність 7^x²<1 також розв'язку не має.

Г. Зведемо нерівність до простого типу шляхом логарифмування та елементарних перетворень над степенями

Оскільки під логарифмом число більше одиниці 2>1, то логарифм додатний log₇2>0, звідси слідує, що розв'язком нерівності x²>-log₇2 (а тому і нерівності (1/7)^x²<2) є множина всіх дійсних чисел.

Д. Як і в попередніх прикладах, застосовуємо логарифмування за основою 7.

Оскільки логарифм додатний log₇2>0 та перед ним маємо знак мінус, то нерівність x²<log₇2<0 не має розв'язків, тому показникова нерівність (1/7)^x²>2 також не має розв'язку.
Відповідь:(1/7)^x²

Приклад 15.8 Знайти множину розв'язків нерівності 4^x>3.

Розв'язування: Заданий тип показникових нерівностей зводять до простого типу методом логарифмування. За методикою від правої та лівої частини нерівності беруть логарифм за основою виразу, що містить змінну, а далі використовують властивість, що логарифм основи рівний одиниці:
log_aa=1.
В такий спосіб в одній частині нерівності дістанемо "ікс" степінь, а в другій логарифм.
Розпишемо відповідні перетворення:
4^x>3,
log₄4^x>log₄3,
x•log₄4>log₄3,
x•1>log₄3,
x>log₄3.
В цьому і полягає метод логарифмування.
Далі наносимо точку та заштриховуємо множину розв'язків нерівності на числовій осі

Показникова нерівність виконується на інтервалі x∈(log₄3;+∞).
Відповідь:(log₄3;+∞) – Г.

Приклад 15.10 Розв'язати нерівність 3^x>5^x.

Розв'язування: Дослідивши показникову нерівність, бачимо, що основи справа та зліва не рівні між собою. Причому в обох частинах в показнику маємо змінну. Тому до такого типу нерівностей використання методу логарифмування нічого доброго не дасть. За якою б з основ не логарифмували, все одно отримаємо логарифм, який не обчислити аналітично і це не спростить нерівності.
Однак алгоритм розкриття таких нерівностей існує, і він полягає в розділенні усієї нерівності на додатний вираз. За цей вираз можемо брати як 5^x так і 3^x, оскільки обидва додатні при будь-яких x.
Наслідки вибору на що ділити впливають на основу:
коли беремо менше значення, то при діленні основа буде більша одиниці, тому при розкритті показникової нерівності знак зберігається;
якщо вибираємо більше з чисел, то при діленні основи нерівності менші одиниці, тому порівнюючи степені знак доведеться змінювати на протилежний (теорема 2).
Переконайтеся в цьому самостійно, а ми переходимо до обчислень і розділимо нерівність на 5^x

Далі в правій стороні бачимо, що дістали одиницю, яку за властивостями показникових функцій замінюємо основою 3/5 в нульовому степені.

При розкритті нерівності знак поміняли на протилежний, оскільки основа менша одиниці 0<3/5<1. (теорема 2)
Наносимо значення на числову вісь

та записуємо розв'язки показникової нерівності у вигляді інтервалу x∈(-∞;0).
Відповідь:(-∞;0) – А.

В шкільній програмі Ви обов'язково розв'язуєте нерівності, що тут запропоновані. В когось виходить краще, комусь дається тема важче, та на досягнутому зупинятися не варто. Адже попереду багатьох з Вас чекають ЗНО тести з математики та вступ у ВУЗи, де, з власного досвіду можемо запевнити, важче вчитися ніж в школі.
Сьогодні розібрали лише найпростіші приклади, які ми відібрали для Вас з курсу ЗНО підготовки. Всього розв'язано 42 приклади на показникові нерівності, тому нові схеми обчислень чекають Вас попереду. Хто любить вчитися самостійно та обходиться без репетиторів може пройти весь онлайн курс підготовки за усіма темам протягом кількох місяців.