Перші і найголовніші питання, які розкриває дана тема – Які ознаки подільності чисел Ви повинні знати? Для чого потрібні дільники числа? Як розкласти числа на дільники?
Дільниками натуральних чисел є цифри 2, 3, 5, 7, 8, 9 та числа 10, 11, 13, ...
Числа, які дільниками мають 1 та сааме число називають простими.
Найчастіше ознаки подільності використовують при вивченні шкільного курсу з алгебри для обчислення найбільшого спільного дільника (НСД) та найменшого спільного кратного (НСК). Дамо короткі означення цих величин та приклади для ознайомлення.
Найбільший спільний дільник (НСД) — найбільше натуральне число, на яке без остачі ділиться кожне з заданих чисел.
Наприклад,
НСД(18,27,36)=9.
Найменше спільне кратне (НСК) це найменше натуральне число, яке ділиться на кожне з даних чисел.
Наприклад,
НСК(2,3,5)=30.
Правила знаходження НСД і НСК достатньо прості. Числа в обох випадках розкладають на прості множники. Далі для обчислення НСД знаходять спільні дільники для всіх чисел (двох, трьох) та перемножують їх. Для знаходження НСК прості множники кожного з чисел перемножують Таким чином отримують найменше число, яке має дільниками задані числа.
Ознаками подільності називають правила, які дозволяють швидко визначити, чи є число кратним наперед заданому числу, без необхідності виконувати повне ділення.
Основні ознаки поділу натуральних чисел. Ознака подільності на 2.
Для того, щоб число ділилося на 2, достатньо щоб його остання цифра ділилася на 2. Під це правило підпадають всі парні числа. Для прикладу
4, 16,100, 84, 38, 3336, 1112.
Ознака подільності на 3
Число ділиться на 3 за умови, що сума його цифр ділиться на 3.
Наприклад, число 552. Воно не містить трійки, однак сума його цифр
5+5+2=12; 12/3=4
ділиться на 3 націло, отже за ознаками подільності 552 ділиться на 3.
552:3=184.
Тепер перевіримо число 2333.
Три останні цифри рівні 3 і всім зрозуміло, що вони діляться на 3, однак ціле число за правилом
2+3+3+3=11;
11/3=3 цілих і 2 остачі
не ділиться на трійку без остачі, отже і 2333 не ділиться націло на 3.
Це Ви повинні знати і використовувати в обчисленнях.
Ознака подільності на 4
Ознака подільності натурального числа на 4 теж доволі проста і зрозуміла. Число має дільником 4 тоді, коли дві останні його цифри нулі або діляться на 4. Число 8 це правило не включає, але усім зрозуміло, що 8 ділиться на 4.
Наприклад, число 999924 досить велике для ділення в стовпчик школярами в 7 класі.
Однак потрібноо лише перевірити подільність на 4 двох останніх цифр (24/4=6) і ми можемо зробити висновок, що 999924 має дільником четвірку.
Ознака подільності на 5
Число ділиться на 5 , якщо остання цифра ділиться на 5. Таке можливо за умови, що остання цифра рівна 0 або 5.
Наприклад, число 745845 ділиться на 5, а число 12346 не ділиться на 5.
Ознака подільності на 6
Число ділиться на 6 за умови, що виконуються ознаки подільності на 2 і на 3. Це і логічно і зрозуміло кожному.
Таким чином потрібно перевірити, чи для заданого числа справджуються одразу 2 правила.
Наприклад, число 6342 закінчується парною цифрою, отже на 2 ділиться націло. Перевіримо ознаку подільності на 3
6+3+4+2=15.
Число 15 ділиться на 3, отже 6342 ділиться націло на 6.
Ознака подільності на 7
Число 7буде дільником заданого числа у випадку якщо виконується одне з правил:
- Якщо потроєна сума десятків разом з одиницями ділиться на 7.
Наприклад, перевіримо число 112 за ознаками подільності
3*11+2=35;
35/7=5.
Правило виконується, отже 112 ділиться на 7. - Якщо сума подвоєного числа без останніх двох цифр і останніх двох цифр ділиться на 7.
Наприклад, 168 ділиться на 7, так як
2*1+68=70;
70 /7 = 10. - Якщо сума числа без останньої цифри і останньої цифри, помноженої на 5, ділиться на 7.
Наприклад, 161 ділиться на 7, оскільки
16+5*1=21;
21/7 =3
ділиться на 7 націло.
Приклад 1. Перевірити чи є 7 дільником числа 2002?
Виконуємо обчислення
200+5*2=210; 210/7=30.
Отже 2002 ділиться на 7 націло. - Правило подільності на 7 для великих чисел. Число розбивають уявно на блоки по три цифри, починаючи з останньої цифри. Згідно правила, якщо різниця суми блоків, що стоять на парних місцях, і суми блоків, що стоять на непарних місцях, ділиться на 7, то число ділиться на 7.
Наприклад, 14.563.274
561-(14+274)=273.
Перевіримо 273 за 2 правилом
2*2+73=77.
Це число "красиво" ділиться на 7. Таким перевірити подільність числа на 7 та розв'язати приклад маємо можливість за кількома правилами. Кожне з них має для ряду чисел певні переваги над іншим, тому вибирайте, який спосіб для Вас зрозуміліший і швидший.
Ознака подільності на 8
Число ділиться на 8, якщо три його останні цифри — нулі або утворюють число, яке ділиться на 8.
За цим правилом Ви не перевірити чисел до 1000, однак до них можна тричі застосувати ознаки подільності на 2.
Наприклад, для числа 864 розклад на прості множники буде наступним
864/2=432; 432/2=216; 216/2=108.
Отже 864 ділиться на 2*2*2=8.
Приклад 2. Чи є число 8 дільником 888124?
Тут багато хто побачив спереду 8 і думає, що ділиться, але давайте перевіримо правило
124/8=62*2=31*2*2=31*4.
Бачимо, що на 4 число ще ділиться, а от на 8 без остачі ніяк.
Отже 888124 на 8 націло не ділиться.
Ознака подільності на 9
Число ділиться на 9, якщо сума його цифр ділиться на 9. Правило ідентичне як для трійки.
Перевіримо, наприклад 1422
1+4+2+2=9.
Якщо, такі числа попадуть на контрольній то подільність чисел полюбить кожен учень в 7, 8 класі.
Візьмемо складніший запис, наприклад 11529.
За правилом подільності на 9 отримаємо
1+1+5+2+9=18; 18/9=2.
Хоч 9 і велике число, однак перевірка подільності легша ніж для 7 та 6.
Ознака подільності на 10
Число ділиться на 10 , якщо воно закінчується на нуль. Легшого вже правила і придумати важко, бачите вкінці числа нуль значить число ділиться на 10.
Наприклад, числа 70, 230, 180, 34354350 діляться на 10.
Ознака подільності на 11
- Число ділиться на 11, якщо сума цифр на парних місцях мінус сума на непарних ділиться на 11.
Для прикладу, число 2948
2+4-9-8=-11
ділиться на 11. - Число розбивають уявно на блоки по дві цифри в кожному, починаючи з кінця. Сума таких блоків повинна ділитись на 11.
Для прикладу, розберемо число 198
1+98=99; 99/11=9.
Число 50446 перевіримо на подільність
46+4+5=55; 55/11=5.
Як бачите правило допомагає знайти дільник доволі швидко. Ділення в стовпчик забрало б набагато більше часу.
Ознаки подільності на 12, 15, 16, 18
Ознаками є комбінації правил подільності на 2, 3, 5, 9. Тому, щоб перевірити чи число ділиться на 12 потрібно з'ясувати чи виконуються правила подільності на 4 і 3 і так по індукції для інших чисел з наведеного ряду.
Ознака подільності на 13
Щоб перевірити, чи ділиться число на 13 потрібно виконати ряд обчислювальних операцій:
До числа без останньої цифри додають останню цифру, помножену на 4.
Знайдене число перевіряють діленням на 13.
Для, прикладу числа 325
32+4*5=32+20=52; 52/13=4.
Для великих чисел правила подільності застосовують повторно. Іноді стільки разів, скільки потрібно для отримання простого дільника.
Наприклад, перевіримо 2101
210+4*1=214.
До 214 застосуємо знову правило подільності на 13
21+5*4=21+20=41; 41/13=3.
Ось така буває математика на практиці. Решта чисел в шкільній практиці зустрічається доволі рідко, тому тут їх давати не будемо. Для решти студентів і школярів є довідники та інтернет, тому особливі випадки подільності можна знайти завжди.
Як обчислити найбільший спільний дільник (НСД) та найменше спільне кратне (НСК) ми розкажемо в наступних матеріалах, а зараз вивчайте і практикуйте наведені правила подільності. Для початку запишіть з "пам'яті" велике число (щоб не було парним і не закінчувалося на 0 та 5), та перевірте, які воно має дільники.
