Без комплексних чисел неможливо розв'язати безліч цікавих та непростих на перший погляд задач з механіки, фізики, математики, термодинаміки. Вони доповнюють множину дійсних чисел, використовуючи при цьому власні правила обчислень сум, часток і т.д. Комплексним числом називають число вигляду
де 
і 
- дійсні числа, 
- уявне число, або недійсне число
- дійсна частина комплексного числа,
- уявна частина комплексного числа.
Комплексні числа називаються спряженими, якщо їх дійсні частини збігаються, а уявні протилежні знаком, тобто, якщо 
, то спряжене до нього є 
.
Два комплексні числа називаються рівними, якщо рівні їхні дійсні частини та коефіцієнти при уявних частинах:
ДІЇ НАД КОМПЛЕКСНИМИ ЧИСЛАМИ, ЗАДАНИМИ В АЛГЕБРАЇЧНІЙ ФОРМІ
Нехай задано два комплексних числа 
та 
.
1. Додавання:
Наприклад, сума двох компексних чисел -1+4i та 3-7i за формулою рівна
2. Віднімання:
Різницю двох комплексних чисел знаходимо за правилом
наприклад, віднімемо наступні два числа 3+5i, 1-4i
3. Множення:
Правило добутку двох комплексних чисел має наступний запис
Наприклад, помножио число 2+5i на 3+i
4. Ділення:
Операція ділення досить подібна до позбуття ірраціональності в знаменнику. При діленні чисельник і знаменник потрібно помножити на спряжений вираз до дільника 
В результаті комплексна частина в знаменнику занулиться і отримаємо класичну формулу комплексного числа.
Наприклад, поділимо 4+5i на 3+2i
Піднесення уявної частини числа до степеня з натуральним показником 
:
, якщо 
ділиться на 4 без остачі;
, якщо 
ділиться на 4 з остачею 1;
, якщо 
ділиться на 4 з остачею 2;
, якщо 
ділиться на 4 з остачею 3.
Приклад 1. Обчислити значення виразів
1) 
2) 
3) 
4) 
якщо 
Розв'язок. Основні операції з комплесними числами, це як основа основ даній теорії тому спробуйте розібратися з правилами з першого разу та в майбутньому не мати проблем з обчисленнями.
1) Проведемо додавання та віднімання згідно правил
2) Спряженим до числа 
буде 
Обчислимо добуток перших двох чисел
Обчислимо добуток отриманого числа на 
Отже, шуканий добуток буде рівний 65-13i
3) Виконаємо ділення компексних чисел за формулою
В результаті отримали число, яке має тільки уявну частину.
4) Спочатку підносимо число z3 до квадрату
Тепер виконаємо ділення
При обчисленнях будьте уважні і слідкуйте за знаками, як правило, неуважність є причиною більшості помилок при роботі з омплесними числами. Правила піднесення до степеня уявної частини прості і, розв'язавши необхідну кількість подібних прикладів, Ви їх засвоїте без особливих зусиль.
