Неозначений інтеграл від косинуса cos(x) рівний синусу. Для первісної косинуса до правої сторони додаємо сталу
Сталу визначають з додаткової умови на первісну.
Графік косинуса має вигляд 
Саме означення інтегралу косинуса достатньо просте. Але як тільки задають обчислити інтеграл косинуса подвійного кута, потрійного або половини кута, зразу виникають труднощі в частини студентів. Виведемо формулу інтегралу для функції cos(k*x). Для застосування табличної формули інтегрування треба внести коефіцієнт під диференціал, що може призвести до зміни самого інтегралу. Тому одночасно необхідно поділити на коефіцієнт.
<imgsrc="images/stories/Int/Int14_002.gif" alt="інтегрування косинуса"/>.
Знаючи наведену формулу, проінтегрувати косинус подвійного кута зможе кожен школяр 10, 11. Все, що необхідно це підставити 2 або 3 в інтеграл
і за індукцією наступні інтеграли
int(sin(k*x)=-1/k*cos(k*x).
Виведена формула дозволяє обчислити інтеграл від косинуса половини кута
та інтеграл від косинуса однієї третьої кута
В цих випадках коефіцієнт, що стоїть при змінній в косинусу при інтегруванні стає оберненим значенням перед синусом.
Поширені приклади інтегрування косинуса
Приклад 1. Знайти інтеграл від cos(5*x).
Обчислення: За формулою інтегруємо косинус
Приклад 2. Обчислити інтеграл від cos(7*x).
Обчислення: Виконуємо інтегрування
Приклад 3. Проінтегрувати вираз cos (11*x).
Обчислення: Обчислюємо неозначений інтеграл
Приклад 4. Знайти інтеграл від функції y= cos (x/5).
Обчислення: Записуємо неозначений інтеграл
Приклад 5. Знайти інтеграл від функції y= cos (x/6).
Обчислення: Інтегруємо згідно наведеної вище формули
Як тільки Ви засвоїте методику інтегрування на простих прикладах, сміло можете переходити до визначених інтегралів та первісних. Для обчислення визначеного інтегралу проводимо інтегрування, а далі підставляємо межі інтегрування та знаходимо зміну функції.
Приклад 6. Проінтегрувати косинус подвійного кута y=cos(2*x) від 0 до 45 градусів.
Обчислення: Знаходимо означений інтеграл від косинуса
<imgsrc="images/stories/Int/Int14_012.gif"/>
Приклад 7. Знайти інтеграл від косинуса y=cos(x) від 0 до 60 градусів.
Обчислення: Обчислюємо інтеграл та підставляємо межі інтегрування
<imgsrc="images/stories/Int/Int14_013.gif"/>
Приклад 8. Знайти первісну від cos(x), яка при 30 градусах рівна 1.
Обчислення: Знаходимо первісну
З накладеної умови на первісну обчислюємо сталу
sin(Pi/6)+C=1; C=1-
sin(Pi/6)=1-0,5=0,5.
Підставляємо отриману сталу в рівняння первісної
На цьому завдання розв'язано. На таких простих прикладах Ви чітко повинні знати, чому рівний інтеграл від косинуса.
Далі здобуті знання можна застосовувати для обчислення площ криволінійних трапецій. Це досить абстрактне поняття, але за допомогою інтегрування знаходити площу фігур досить просто і швидко. Слід лише пам'ятати, що площа завжди приймає додатне значення, в той час як визначений інтеграл може приймати від'ємне значення.
Для прикладу обчислимо площу та інтеграл від косинуса, якщо змінна належить межам від 0 до 2*Pi.
За фізичним змістом площа рівна заштрихованим поверхням.
Знаходимо визначений інтеграл у вказаних межах
Що стосується площі, то спершу слід знайти точки перетину з віссю абсцис на цьому інтервалі
Таким чином площу необхідно шукати на трьох проміжках
Вісь абсцис можемо записати функцією y=0. Таким чином на першому проміжку площа рівна інтегралу від косинуса,
на другому 0-cos(x)=-cos(x) від мінус косинуса і на третьому від косинуса. Все при обчисленні площі залежить від того, яка функція приймає більше значення по осі ординат (Oy). Обчислюємо площу інтегруванням
Таким чином шукана площа рівна 4. Якщо мати графік функції, то дане значення можна отримати, як 4 площі косинус функції,які періодично повторяються
На цьому ознайомлення з інтегруванням косинуса завершується. Наведена методика інтегрування дозволяє обчислити 80% задач на інтегрування. Решта 20% Ви навчитеся після вивчення способів знаходження інтегралів від функцій виду
Ми навчимо Вас, які згортки та заміни змінних слід використовувати, в яких випадках доцільно інтегрувати частинами. Інтеграли від інших тригонометричних та обернених до них функцій Ви знайдете в категорії "Інтегрування функцій".
