На попередніх уроках розглядали приклади на знаходження ескізів точок, зараз розберемо готові відповіді на паралельне перенесення та симетрію прямих, а в наступних уроках задачі на геометричні перетворення для кіл, парабол, трикутників. Завдання підібрано на основі програми підготовки до ЗНО підготовки з математики, тому в першу чергу допоможуть на практичних учням 10,11 класів. Щоб підвищити теоретичні знання перегляньте статтю на "Геометричні перетворення та перетворення подібності". Головні властивості, на які просимо звернути увагу та вивчити виділені в поясненнях жирним шрифтом..

Тема: Перетворення фігур

Приклад 43.1 Який з відрізків є образом відрізка AB при русі?
образ відрізка
Розв'язування: Рухом (переміщенням) називають перетворення фігури, яке зберігає відстань між точками.
Відрізок AB по довжині рівний лише відрізку OP, тобто відстань між точками як кінцями відрізка є однаковими, тому відрізок OP є образом відрізка AB при русі.
Відповідь: OP – В.

 

Приклад 43.7 Яка з прямих, зображених на рисунку, може бути образом прямої a при паралельному перенесенні?

Розв'язування: При паралельному перенесенні пряма переходить у паралельну їй пряму або в себе.
Оскільки жодна з прямих b, c і d не є паралельними до прямої a, то пряма a при паралельному перенесенні (на нульовий вектор) перейшла у саму себе. Отже, пряма a є образом прямої a при заданому паралельному перенесенні.
Відповідь: a – Д.

 

Приклад 43.11 Встановити образ прямої y=2x+3 при симетрії відносно початку координат.
симетрія прямих
Розв'язування: Маємо пряму y=2x+3, рівняння якої має вигляд y=k•x+b, де k=2 і b=3. Це означає, що пряма перетинає вісь ординат у точці A(0;3). За властивістю центральної симетрії (симетрії відносно точки):
образом прямої, яка не проходить через центр симетрії, є паралельна їй пряма.
Маємо образ прямої з рівнянням y=k1x+b1, де k=k1=2.
Оскільки пряма симетрична відносно початку координат (точки O(0;0)), то образом точки A(0;3) при цій симетрії буде точка A'(0;-3) (координати змінили на протилежні), тоді b1=-3.
Звідси отримали рівняння образу прямої: y=2x-3.
Відповідь: y=2x-3 – Г.

 

Приклад 43.13 Знайти образ прямої y=-4x-3 при симетрії відносно вісі Oy.
ЗНО тести
Розв'язування: Знайдемо точки перетину прямої y=-4x-3 з осями координат:
x=0, звідси y=-3, отримали A(0;-3).
y=0, звідси x=-3/4, отримали B(-3/4;0).
За властивістю симетрії відносно вісі Oy:
точки, симетричні відносно осі Oy, мають однакові ординати та протилежні абсциси.
Тому при симетрії відносно вісі Oy точка A(0;-3) залишилася без змін (бо належить цій осі), а точка B(-3/4;0) переходить в точку B'(3/4;0).
симетрія прямої відносно Oy
Запишемо рівняння образу прямої, яка проходить через дві точки A(0;-3) і B'(3/4;0), при симетрії відносно вісі Oy:
y=k•x+b,

Отримаємо рівняння прямої y=4x-3.
Відповідь: y=4x-3 – Д.

 

Приклад 43.14 При симетрії відносно прямої y=x пряма y=-4x+4 переходить у пряму…
симетрія прямих, ЗНО підготовка

Розв'язування: Знайдемо точки перетину прямої y=-4x+4 з осями координат:
x=0, звідси y=4, отримали A(0;4).
y=0, звідси x=1, отримали B(1;0).
За властивістю симетрії відносно прямої y=x:
у точках, симетричних відносно прямої y=x, ординати та абсциси змінюються місцями.
Тому при симетрії відносно прямої y=x точка A(0;4) переходить в точку A'(4;0), а точка B(1;0) переходить в точку B'(0;1).
Запишемо рівняння образу прямої, яка проходить через дві точки A'(4;0) і B'(0;1), при симетрії відносно прямої y=x: y=k•x+b,

При пдстановці в рівняння прямої, матимемо
 y=k•x+b=-x/4+1.
Відповідь: y=x/4+1 – А.

 

Приклад 43.16 Встановити образ прямої y=-x+4 при паралельному перенесенні на вектор (1;1).
паралельний перенос прямої
Розв'язування: Знайдемо точки перетину прямої y=-x+4 з осями координат:
x=0, звідси y=4, отримали A(0;4).
y=0, звідси x=4, отримали B(4;0).
За властивістю паралельного перенесення на вектор m: до координат точок A(0;4) і B(4;0) додамо відповідні координати вектора m(1;1) і отримаємо координати образів точок A'(1;5) і B'(5;1) при паралельному перенесенні.
Запишемо рівняння образу прямої, яка проходить через дві точки A'(1;5) і B'(5;1):
y=kx+b,

Звідси y=-x+6.
При паралельному перенесенні прямі залишаються паралельними, тому їх кутові коефіцієнти k є рівними і дорівнюють -1.
(Тому для образу прямої достатньо лише взяти одну точку і її паралельно перенести на заданий вектор).
Відповідь: y=-x+6 – В.

 

Приклад 43.23 Дано пряму y=x/3+1. Установити відповідність між перетвореннями (1–4) та рівняннями образів даної прямої (А–Д).

1. Симетрія відносно осі Ox

2. Симетрія відносно осі Oy

3. Симетрія відносно початку координат

4. Паралельне перенесення на вектор (3;1)

Розв'язування: Знайдемо точки перетину прямої y=x/3+1 з осями координат:
x=0, звідси y=1, отримали A(0;1).
y=0, звідси x=-3, отримали B(-3;0).
симетрія та паралельний перенос прямих
1. За властивістю симетрії відносно вісі Ox:
точки, симетричні відносно осі абсцис Ox, мають однакові абсциси та протилежні ординати.
Тому при симетрії відносно вісі Ox точка B(-3;0) залишилася без змін (бо належить цій осі), а точка A(0;1) переходить в точку A1(0;-1).
Запишемо рівняння образу прямої, яка проходить через дві точки A1(0;-1) і B(-3;0), при симетрії відносно вісі Ox:
y=k·x+b,

Записуємо шукане рівняння прямої y=-x/3-1. В.

2. За властивістю симетрії відносно осі Oy:
точки, симетричні відносно осі ординат Oy, мають однакові ординати та протилежні абсциси.
При симетрії відносно вісі Oy точка A(0;1) залишилася без змін (бо належить цій осі), а точка B(-3;0) переходить в точку B2(3;0).
Запишемо рівняння образу прямої, яка проходить через дві точки A(0;1) і B2(3;0), при симетрії відносно вісі Oy:
y=k·x+b,

Звідси y=-x/3+1. А.

3. Маємо пряму y=x/3+1, рівняння якої має вигляд y=k·x+b, де k=1/3 і b=1.
Властивість центральної симетрії (симетрії відносно точки):
образом прямої, яка не проходить через центр симетрії, є паралельна їй пряма.
Отже, маємо образ прямої з рівнянням y=k3·x+b3, де k=k3=1/3.
Оскільки пряма симетрична відносно початку координат (точки O(0;0)), то образом точки A(0;1) при цій симетрії буде точка A1(0;-1) (координати змінили на протилежні), тоді b3=-1.
Отримали рівняння образу прямої:
y=x/3-1. Д

4. За властивістю паралельного перенесення на вектор :
до координат точок A(0;1) і B(-3;0) додамо відповідні координати вектора a(3;1) і отримаємо, відповідно, координати образів точок A4(3;2) і A(0;1) при паралельному перенесенні.
Але отримані точки і так належать заданій прямій y=x/3+1, тому при заданому паралельному перенесенні на вектор a(3;1) задана пряма y=x/3+1 переходить у саму себе. Б.

Далі розберемо розв'язки прикладів на перетворення подібності для кіл, парабол та трикутників.