На уроці розберемо готові відповіді до завдань із ЗНО підготовки на перетворення подібності. В попередніх уроках розглядали симетрію та ескізи для точок, прямих, далі паралельне перенесення відрізків, прямих, кіл. Обчислювали гомотетію та коефіцієнт гомотетії. На практичних в 10, 11 класі Ви вчитеся розв'язувати простіші приклади на відображення та симетрію парабол, тому наступні приклади служитимуть добрим доповненням до теорії та інструкцією з обчислень.
Тема: Перетворення фігур
Приклад 43.5 Яка з указаних фігур має лише одну вісь симетрії?
А | Б | В | Г | Д |
Квадрат | коло | відрізок | парабола | ромб |
Розв'язування: Фігуру називають симетричною відносно прямої l, якщо для кожної точки даної фігури точка, симетрична їй відносно прямої l, також належить цій фігурі. На практиці зручно користуватися наступним правилом:
якщо фігуру зігнути по прямій, яка є віссю симетрії цієї фігури, то обидві половинки фігури співпадуть.
За означенням, властивостей фігур і осьової симетрії отримаємо (дивись рисунок): квадрат має 4 осі симетрії (на рисунку це прямі a, b, c, d); коло – безліч; відрізок і ромб – по 2 осі симетрії (на рисунку це прямі a, b);. І лише парабола має одну вісь симетрії.
Відповідь: парабола – Г.
Приклад 43.12 Встановити образ параболи y=(x-1)2+3 при симетрії відносно початку координат.
Розв'язування: Параболу y=(x-1)2+3 отримали з параболи y=x2 (вершина якої O(0;0)) за допомогою геометричних перетворень: зсунули на 1 одиницю вправо і 3 одиниці вгору.
Тому її вершина має координати S(1;3).
При симетрії відносно початку координат координати кожної точки фігури змінюються на протилежні.
Тому вершина образу параболи має координати S'(-1;-3) , а саме рівняння параболи матиме вигляд:
y=-(x+1)2-3,
тобто напрямлена гілками вниз (дивись рисунок).
Відповідь: y=-(x+1)2-3 – Б.
Приклад 43.15 Встановити образ параболи y=x^2 при паралельному перенесенні на вектор a(-1;2).
Розв'язування: Рівняння параболи задається вершиною та напрямком осей. Парабола y=x2 має вершину в точці O(0;0), а гілки напрямлені вгору. При паралельному перенесенні параболи y=x2 на вектор 
, її вершина переміститься на цей вектор, а гілки так і залишаться напрямленими вгору.
Отже, S(-1;2) – вершина образу параболи при паралельному перенесенні на вектор a(-1;2) (до координат вершин параболи додають координати вектора паралельного перенесення). Тому рівняння параболи має вигляд:
y=(x+1)2+2,
y=x2+2x+1+2,
y=x2+2x+3.
Відповідь: y=x^2+2x+3 – Г.
Приклад 43.26 Дано графік y=√x. Установити відповідність між перетвореннями (1–4) та рівняннями образів графіка (А–Д).
Розв'язування: Коренева функція також є рівнянням параболи, для цього виразіть "ігрик" як функцію від "ікс".
Графіком функції y=√x є гілка параболи з вершиною у точці A(0;0) і напрямлена вправо (у додатному напрямку осі Ox). При заданих перетвореннях графіка кореневої ф-ї y=√x достатньо визначити вершину образу графіка та напрямок гілки.
1. За властивістю симетрії відносно прямої x=4:
точка (4;0) є серединою відрізка AA1, кінцями якого є вершина заданого графіка A(0;0) і його образу при цій симетрії A1(x;0), а гілка образу буде напрямлена вліво (у від'ємному напрямку осі Ox).
Знайдемо координати вершини A1(x;0):
(x+0)/2=4, звідси x=8, тому A1(8;0).
Оскільки образ графіка функції y=√x при симетрії відносно прямої x=4 має вершину A1(8;0) і гілка напрямлена вліво, то у рівнянні перед x треба змінити знак на протилежний і зсунути на 8 одиниць праворуч, тобто y=√(-x+8). Г.
2. За властивістю симетрії відносно прямої y=2:
точка (0;2) є серединою відрізка AA2, кінцями якого є вершина заданого графіка A(0;0) і його образу при цій симетрії A2(0;y), а гілка образу буде напрямлена вправо (у додатному напрямку осі Ox), але функція спадатиме.
Обчислимо координати вершини A2(0;y):
(y+0))/2=2, звідси y=2, тому A2(0;4).
Оскільки образ графіка функції y=√x при симетрії відносно прямої y=2 має вершину A2(0;4) і гілка напрямлена вправо і спадає, то у рівнянні перед коренем треба змінити знак на протилежний і зсунути на 4 одиниці вгору, тобто y=-√x+4. Д.
3. За властивістю симетрії відносно прямої y=-1:
точка (0;-1) є серединою відрізка AA3, кінцями якого є вершина заданого графіка A(0;0) і його образу при цій симетрії A3(0;y), а гілка образу буде напрямлена вправо (у додатному напрямку осі Ox), але функція спадатиме.
Визначаємо координати вершини A3(0;y):
(y+0)/2=-1, звідси y=-2, тому A3(0;-2).
Оскільки образ графіка кореневої функції y=√x при симетрії відносно прямої y=-1 має вершину A3(0;-2) і гілка напрямлена вправо і спадає, то у рівнянні перед коренем треба змінити знак на протилежний і зсунути на 2 одиниці вниз, тобто y=-√x-2. А.
4. За властивістю симетрії відносно прямої x=-1:
точка (-1;0) є серединою відрізка AA4, кінцями якого є вершина заданого графіка A(0;0) і його образу при цій симетрії A4(x;0), а гілка образу буде напрямлена вліво (у від'ємному напрямку осі абсцис Ox).
Знайдемо координати вершини A4(x;0):
(x+0)/2=-1, звідси x=-2, тому A4(-2;0).
Оскільки образ графіка функції y=√x при симетрії відносно прямої x=-1 має вершину A4(-1;0) і гілка напрямлена вліво, то у рівнянні перед x треба змінити знак на протилежний і зсунути на 2 одиниці ліворуч, тобто y=√(-x-2). Б.
Приклад 43.28 Дано параболу y=x^2-4x+8. Установити відповідність між перетвореннями (1–4) та рівняннями образів параболи (А–Д).
Розв'язування: Задано параболу y=x2-4x+8 вигляду y=a•x2+b•x+c, де a=1>0, тому її гілки напрямлені вгору.
При паралельному перенесенні та симетрії відносно осі ординат Oy гілки параболи будуть напрямлені вгору. Тому рівняння образів параболи визначатимуться лише її вершиною Sn(x’;y’).
У рівнянні параболи y=x2-4x+8 виділимо повний квадрат і знайдемо координати її вершини S(x;y):
y=x2-4x+4+4,
y=(x-2)2+4.
З рівняння парабола має вершину S(2;4), її графік отримаємо посуненням параболи y=x2 на 2 одиниці праворуч і 4 одиниці вгору.
За властивістю паралельного перенесення на вектор 
:
до координат точки S(2;4) додамо відповідні координати вектораі отримаємо координати вершини образу параболи, а тому і саме рівняння образу параболи.
Графіки образів парабол для кожного пункту тестів наведені нижче, важливо відзначити, що суть таких завдань полягає у визначення вектора переноса.
А для його знаходження необхідно знати як впливають геометричні перетворення на графіки функцій, в поясненнях ці моменти обгрунтовані.
Знайдемо координати вершини образів параболи і їх рівняння.
1. При паралельному перенесенні на вектор (2;-1) точка S(2;4) перейде в точку S1(4;3), тоді рівняння образу параболи при цьому перетворенні матиме вигляд:
y=(x-4)2+3,
y=x2-8x+16+3,
y=x2-8x+19. Б.
2. Під час паралельному перенесенні на вектор (-4;1) точка S(2;4) перейде в точку S2(-2;5), тоді рівняння образу параболи при цьому перетворенні матиме вигляд:
y=(x+2)2+5,
y=x2+4x+4+5,
y=x2+4x+9. Г.
3. Паралельний перенос на вектор (1;2) точка S(2;4) перейде в точку S3(3;6), тоді рівняння образу параболи при цьому перетворенні матиме вигляд:
y=(x-3)2+6,
y=x2-6x+9+6,
y=x2-6x+15. В.
4. За властивістю симетрії відносно вісі Oy:
точки, симетричні відносно осі Oy, мають однакові ординати та протилежні абсциси.
Тому при симетрії відносно вісі Oy точка S(2;4) переходить в точку S4(-2;4), тоді рівняння образу параболи при цьому перетворенні матиме вигляд:
y=(x+2)2+4,
y=x2+4x+4+4,
y=x2+4x+8.
З розгляду точок бачимо, що відрізок SS4 перпендикулярний осі ординат SS4⊥Oy і в точці (0;4) (точка перетину) ділиться навпіл. А.
На завершення теми геометричних перетворень Вас чекає кілька задач на знаходження площі подібних трикутників, їх об'єднано в окремий урок, який іде після цього.
