Модуль та напрям градієнта. Кум між градієнтами

Обчислення модуля та напряму градієнта поля, функції, вектора досить просто повторити, якщо знати алгоритм розрахунків або готові відповіді подібних завдань. Сьогодні крім наведеного вище навчимося знаходити кут між градієнтами, похідну у напрямку градієнта та ще багато чого корисного для навчання. Прикладі підібрано так, що охоплюють навчальну програму більшості студентів ВУЗів.

Приклад 1 Знайти величину та напрям градієнта поля:
u=sin(x)+cos(y)+z-7.

Розв'язання: Кожне завдання з наведених в собі містить покроковий алгоритм знаходження градієнтів і інших величин, тож сприймайте все що тут написано як покрокову шпаргалку.
Першим ділом знайдемо часткові похідні функції u:

Градієнт поля u=sin(x)+cos(y)+z-7 знайдемо за формулою:

Модуль градієнта поля u обчислюємо через корінь квадратний від квадратів проекцій градієнта на координатні осі:

Знаходимо напрям градієнта (косинуси) поля u:

Приклад розв'язано і даних відповідей цілком достатньо, щоб викладач побачив що добре засвоїли теоретичний матеріал та вмієте знаходити градієнти.

Приклад 2 Дано функцію z=arcsin(x/(x+y)).
Знайти кут між градієнтами цієї функції у точках (1,1) і (3,4).

Розв'язання: Знайдемо часткові похідні першого порядку арксинуса:

Обчислимо часткові похідні функції у точках(1,1) і (3,4):

Напрям градієнта заданої функції в точках (1,1) і (3,4) при цьому рівний:

За означенням скалярного добутку знайдемо косинус кута між градієнтами заданої функції у точках (1,1) і (3,4):

Кут між градієнтами функцій близький до 8 градусів

Приклад 3 Дано функції
Знайти кут між градієнтами цих функцій у точці (3,4).

Розв'язання: Для функції знаходимо часткові похідні у точці (3,4):

Обчислимо часткові похідні другої функції у точці (3,4):

Далі виписуємо напрям градієнтів заданих функцій в точці:

За означенням скалярного добутку знайдемо косинус кута між градієнтами заданих функцій у точці (3,4):

Через обернену тригонометричну функцію - арккосинус обчислюємо кут між градієнтами функцій:

Він близький до 101 градуса.

Приклад 4 Знайти похідну поля u=u(x,y,z) у напрямку градієнта поля v=v(x,y,z).
У якому випадку ця похідна буде дорівнювати нулю?

Розв'язання: Запишемо градієнт поля v=v(x,y,z):

Знайдемо напрямні косинуси градієнта grad(v):

Запишемо часткові похідні заданого поля u=u(x,y,z):

Похідну поля u=u(x,y,z) у напрямку градієнта поля v=v(x,y,z) дає формула:

Обчислюємо похідну поля за напрямом

Оскільки похідна поля за напрямком знаходиться за формулою частки добутку градієнтів до модуля градієнта

то з цього слідує, що похідна рівна нулю , тоді та лише тоді, коли градієнти перпендикулярні (кут між ними 90 градусів), тобто їх скалярний добуток дорівнюватиме нулю.

Приклад 5 Знайти grad[f(r)], де

Розв'язання: Знайдемо часткові похідні функції f(r) для функції :

Запишемо градієнт поля f(r):

Дістали наступну формулу градієнта для функції

Приклад 6 В яких точках справджується рівність |grad(u)|=1, якщо u рівна ?

Розв'язання: За властивістю логарифма позбуваємося кореня та перепишемо функцію u у вигляді u=-1/2•ln(x²+y²+z²)

Обчислимо часткові похідні поля u:

Звідси градієнт поля рівний:

Обчислимо модуль градієнта:

За умовою |grad(u)|=1, складаємо рівняння

та розв'язуємо його

Отримали рівняння сфери з центром в початку координат (0,0,0) і радіусом R=1.

Приклад 7 У яких точках простору Oxyz градієнт поля u=x²+y³+z⁴-xyz перпендикулярний до осі Ox.

Розв'язання: Знайдемо часткові похідні заданої функції u=x²+y³+z⁴-xyz:

Обчислюємо градієнт поляu=x²+y³+z⁴-xyz за формулою:

Напрямний вектор осі Ox в координатній і векторній формі рівний:

Вектор grad(u) перпендикулярний до вектора p, якщо виконується умова
grad(u•p)=0.
Звідси складаємо рівняння для визначення точок в яких виконується умова

звідси 2x-yz=0, або z=2x/y.
В точках поверхні z=2x/y градієнт поля u=x²+y³+z⁴-xyz перпендикулярний до осі Ox.

Приклад 8 Обчислити:
а) grad|r|,
б) grad(r2),
в) grad(1/r),
де

Розв'язання: а) Обчислимо grad|r|.

Знайдемо часткові похідні функції |r|:

Далі обчислимо градієнт функції |r|:

б) Обчислимо grad(r²).

Виконуємо аналогічні розрахунки, часткові похідні функції r² рівні:

Запишемо градієнт функції r²:

в) знайдемо grad(1/|r|).

Для функції часткові похідні приймають значення

Складаємо градієнт функції 1/|r|:

Ось і всі приклади, які ми для Вас підготували.
Сподіваємось що пояснення Вам сподобалися та допомогли в навчанні.