Похідна функції за напрямом. Градієнт поля в точці

Сьогодні навчимося знаходити похідну функції в напряму від точки до точки та градієнт векторного поля в точці.
Обчислення не складні, тому після першого прочитання розв'язків Ви зможете обчислювати подібні завдання самостійно.
Формули похідної за напрямом від точки до точки та градієнта поля в точці наведені в відповідях до прикладів.

Приклад 1 Знайти похідну функції z=x³-3x²y+3xy²+1 в точці M(3,1) у напрямку від даної точки до точки (6,5).

Розв'язання: Запишемо вектор - напрям зростання похідної функції між заданими точками.
Маємо все для обчислення напрямних косинусів

Знайдемо часткові похідні першого порядку заданої функції в точці M(3,1):

Обчислимо похідну функції в точці M(3,1) у напрямку p=(3,4) за формулою:

Ось і вся мудрість знаходження похідної функції за напрямом на площині.
В просторі всі формули масштабуються за рахунок третьої координати, але обчислення один в один ідентичні.
Знаходимо часткові похідні за трьома змінними, далі напрямні косинуси і все підставляємо в формулу похідної за напрямом.

Приклад 1*. Знайти градієнт функції z=f(x,y) в точці M.
z=e^(xy)+y^2-x+x^2, M(2;0).
Обчислення: Знайдемо часткові похідні z=e^(xy)+y^2-x+x^2 в точці M(2;0):

та підставимо коорднати М(2;0)

Можемо записати напрям градієнта поля в точці M(2;0):

Обчислимо величину градієнта поля в точці:

Приклад 2*. Знайти похідну функції z=f(x,y) в точці M за напрямом даного вектора.

Обчислення: Запишемо вектор - напрям зростання похідної заданої функції. Тоді напрямні косинуси відповідно рівні

Знайдемо часткові похідні першого порядку заданої функції

в точці M(0;5):

Знайдемо похідну заданої функції в точці M(0;5) у напрямку a(1,2):

Приклад 2 Визначити градієнт поля z=f(x,y) в точці M(x0,y0), якщо
1) z=x²+y², M(3,2);
2) z=√(4+ x²+y²), M(2,1).

Розв'язання: 1) Маємо функцію z=x²+y² і точку M(3,2).
Часткові похідні першого порядку функції обчислюємо для точки M(3,2):

Вони потрібні для знаходження напряму градієнта поля z=x²+y² в точці M(3,2):

Залишилося знайти величину градієнта заданого поля, а це модуль знайденого тільки що вектора

2) Випишемо функцію z=√(4+ x²+y²) і точку M(2,1).
Обчислимо часткові похідні першого порядку функції в точці M(2,1):

Градієнта поля z=√(4+x²+y²) в точці M(2,1) запишемо за формулою :

Знайдемо модуль градієнта заданого поля в точці M(2,1):

Приклад 3 Знайти градієнт поля z=5x²y-3xy³+y⁴ в точці M(3,1).

Розв'язання: Обчислюємо часткові похідні першого порядку z(x,y) в точці M(3,1):

Запишемо напрям градієнта поля z=5x²y-3xy³+y⁴ в точці M(3,1):

Розраховуємо величину градієнта заданого поля:

Приклад 4 Обчислити градієнт поля:
z₁=y/x в точці M₁(1,1) та z₂=xy в точці M₂(2,2).

Розв'язання: Знайдемо часткові похідні функції z₁=y/x в точці M₁(1,1):

Далі напрям градієнта поля z₁=y/x за формулою:

Величину градієнта поля z₁=y/x в точці M₁(1,1) рівна:

Часткові похідні другої функції z₂=xy в точці M₂(2,2):

Напрям градієнта поля z₂=xy в точці M₂(2,2) обчислюємо за правилом:

Модуль градієнта поля z₂=xy в точці M₂(2,2) рівний кореню квадратному з суми квадратів напрямних косинусів:

Практикуйте самостійно в обчисленні похідних і подібні приклади зможете розв'язувати швидко та правильно!