Эффективным способом вычисления пределов функций, имеющих особенности типа бесконечность на
бесконечность
или ноль на ноль 
является применение правила Лопиталя: предел отношения двух
бесконечно малых или двух бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных,
если такие существуют
Раскрытие неопределенностей 
сводится предварительно рассмотренным выше неопределенностей. Если 
, а 
при 
, то применяем преобразование
В случае трех последних неопределенностей нужно применять преобразования
Рассмотрим некоторые примеры из сборника задач Дубовика В.П., Юрика И.И. "Высшая математика"на
применение правила Лопиталя.
-----------------------------------
Пример 1. Найти пределы.
1) (5. 626)
2) (6. 629)
3) (6. 634)
4) (4. 639)
5) (4. 645)
6) (4. 668) 
Решение. 1) Подстановкой устанавливаем что имеем неопределенность вида ноль на ноль 
. Для избавления от
нее применим правило Лопиталя
2) Как и в предыдущем примере мы имеем неопределенность 
. По правилу Лопиталя находим
3) Учитывая неопределенность 
применяем предыдущее правило
4) Раскрываем неопределенность вида 
Числитель и знаменатель преобразуем к сумме синусов на основе правила
В результате получим
Подставим найденные значения
Опять получили неопределенность вида 
и повторно применяем правило Лопиталя
Здесь учтено, что косинус функция стремится к единице при 
.
5) Есть неопределенность вида бесконечность на бесконечность 
.
Найдем производные
6) Применим последнее правило сведения к второй замечательной границы
Применение правила Лопиталя показало все возможности при раскрытии неопределенностей.
Пользуйтесь им на практике и Вам не будет трудно находить подобные границы в обучении.
-----------------------------------
Посмотреть материалы:
