Задачи на нахождение пределов числовых последовательностей при движении номера их общего члена до бесконечности занимают важное место в высшей математике и могут многое рассказать об их сходимости.
Основная суть в нахождении таких границ заключается в выделении из числителя и знаменателя крупнейшего слагаемого или множителя. После этого числитель и знаменатель делят на это значение и получают конечный результат.
Рассмотрим задачи из сборника задач Дубовика В.П., Юрика И.И. "Высшая математика".
-----------------------------------
Пример 1.
Найти пределы.
1) (4. 285)
2) (4. 291)
3) (4. 293)
4) (4. 295)
5) (4. 298)
6) (4. 301)
7) (4. 302)
8) (4. 304)
9) (4. 307)
Решение.
1) Из числителя и знаменателя выделяем множитель который вносит наибольший вклад и сокращаем на него
2) Выделяем множители содержащие третью степень и сокращаем на них
3) Разбиваем данный пример на сумму двух границ
4) В такого типа примерах нужно вынести в знаменателе из-под корня множитель в наибольшей степени
5) В этом примере и подобных нужно найти слагаемое с максимальным степенью
В числителе переменная 
находится в степенях 
и 
. Переменная в знаменателе находится в степенях 
и 
. Поскольку наибольший степень знаменателя 
является большим от степени числителя 
то знаменатель растет быстрее за числитель. В таком случае граница
Если бы было наоборот, то предел был бы равен бесконечности (
). В случае одинаковых показателей переменной, числитель и знаменатель сокращаем на нее и получаем константу.
6) Границы с факториалами занимают особое место среди числовых последовательностей. При их нахождении числитель и знаменатель раскладывают до наибольшего общего факториала
Граница равна нулю, так как степень знаменателя 
больше от числителя 
.
7) Как и в предыдущем примере раскладываем до наибольшего общего факториала
8) К примерам в которых переменная 
выступает в качестве показателя надо относиться с особым вниманием. Незнание закономерностей поведения степенных функций часто приводит к ошибкам в решении. В данном примере 
растет значительно быстрее 
поэтому его выделяем как самый множитель
9) Величины 
и 
стремятся к нулю при 
. На основе этого вычисляем предел
Подобных примеров можно найти немало и решения большинства из них заключается в нахождении доминирующего множителя. Если он в числителе то граница направляется к бесконечности, в знаменателе - к нулю. И только когда и там и там можно сократить на этот множитель дробь и получить предел в виде константы.
-----------------------------------
Посмотреть материалы:
