Быстрым способом нахождения пределов функций имеющих особенности выда ноль на ноль 
является применение эквивалентных бесконечно малых функций. Они крайне необходимы если нужно находить границы без применения правила Лопиталя. Эквивалентности заключаются в замене функции ее разложением в ряд Маклорена. Как правило при вычислении предела используют не более двух членов разложения. Для удобства приведем небольшую таблицу эквивалентностей основных функций при движении переменной к нулю 
есть еще несколько формул однако они встречаются редко.
Рассмотрим некоторые примеры из сборника задач Дубовика В.П., Юрика И.И. "Высшая математика" для закрепления практических знаний.
-----------------------------------
Пример 1. Найти пределы.
1) (5. 492. 1)
2) (5. 492. 7)
3) (5. 492. 8)
4) (5. 492. 9)
5) (5. 492. 11)
6) (5. 492. 13)
7) (5. 492. 15)
8) (5. 492. 17)
9) (5. 492. 19)
Решение.
1) Согласно правилам разложения в окрестности нуля поведение заданных функций будет следующим
На основе этого предел примет значение
2) Использую правила эквивалентностей преобразим функцию
граница примет значение
3) Преобразуем числитель и знаменатель по правилам
и найдем предел
4) Если Вам встречаются подобные примеры то нужно выполнить следующее: на основе формул разложения упростить числитель
Подстановкой в предел получим
неопределенность вида ноль на ноль 
. Для ее раскрытия нужно знаменатель разложить на простые множители.
Чтобы не решать квадратное или другие уравнения, которые могут быть, можете смело делить знаменатель на числитель
Подставляем в предел и вычисляем
Такого рода примеры задуманы таким образом что знаменатель или числитель имеют особенности, избавившись от которых без проблем вычисляем пределы.
5) Согласно правилам эквивалентности поведение числителя и знаменателя подменяем функциями
В результате находим предел
6) Производим замену функций эквивалентными
На основе этого получим
7) Для применения правил эквивалентности добавим и вычтем в числителе единицу.
Далее делаем замену
После подстановки в предел получим
8) Преобразуем числитель
Подставим и сведем к первому замечательному пределу
9) Согласно разложению в окрестности нуля получим
Граница примет вид
Применение эквивалентных функций позволяет быстро находить границы функций. Используйте их в тех случаях, когда это необходимо, изучайте и обогащайте знания самостоятельным решением подобных примеров. Это позволит Вам быть спокойными и уверенными при написании контрольных работ и домашних заданий.
-----------------------------------
Посмотреть материалы:
