Примеры на интегрирование функций взяты из материалов контрольной работы которую задают студентам 1, 2 курсов математических факультетов. Для экономии Вашего времени сами условия заданий пропущенные, везде нужно или "Найти неопределенный интеграл" или "Вычислить интеграл". Текста в комментариях к каждому заданию ровно столько, сколько нужно Вам для усвоения материала.
Интегрирование тригонометрических функций
Пример 20. Для вычисления интеграла от произведения косинуса и синуса необходимо синус внести под дифференциал. В результате перейдем к интегрированию показательной функции от косинуса. Через формулы это будет выглядеть следующим образом
Пример 21. Для начала следует проанализировать аргументы под синусом и косинусом и показатели. Произведение функций можем записать через квадрат синуса двойного угла, который в свою очередь записываем через косинус в два раза большего аргумента. Как только дойдем до функций в первой степени имеем право применять табличные интегралы
Пример 22. Косинус двойного угла записываем по тригонометрическим формулам через косинус 1 угла. Далее чтобы получить интеграл от одной из тригонометрических функций необходимо синус внести под дифференциал. Дальнейшие вычисления сводятся к интегрированию простых функций
Следует отметить что в этом и предыдущем примере использовали некоторые тригонометрические формулы. Для вычисления всех возможных интегралов их нужно знать или иметь под рукой очень много, но для решения базовых интегралов необходимо не более 10 популярных тригонометрических формул.
Пример 23. Имеем дробную тригонометрическую функцию. Для ее вычисления необходимо применить универсальную тригонометрическую замену – тангенс половины угла. Синус через тангенс половины угла выражается зависимостью
После подстановки замены в интеграл и упрощении, которое зачастую при таких заменах бывает не простым, получим простую дробную функцию. Ее интегрировать должен уметь каждый студент. Если нет, то контрольная или самостоятельная на интегралы покажет "кто есть кто".
Пример 24. Чтобы найти интеграл можно применить универсальную тригонометрическую замену, как один из распространенных способов. Как альтернативный вариант можно вынести квадрат косинуса за скобки, а в скобках добавить и вычесть единицу, чтобы получить тангенс. Далее его обозначаем за новую переменную и вычисляем дифференциал (он совпадет со второй частью подынтегральной функции). Таким образом перейдем к интегрированию функции, которая сводится к арктангенсу.
Такой подход несколько упрощает вычисления, но не всегда легко его увидеть и применить. Выполните интегрирование приведенной функции через универсальную замену переменных самостоятельно.
Пример 25. Интеграл от котангенса в квадрате от тройного аргумента находим после следующих преобразований
Здесь использована простая зависимость, что сумма квадратов синуса и косинуса равна единице.
Остальные готовых ответы из контрольной работы на интегралы Вы найдете по приведенным ниже ссылкам. Задания и схемы их вычислений помогут разобраться практически с любыми интегралами.
Готовые решения контрольных с интегрирования
