В данном уроке будут рассмотрены интегралы вида R(sin(x),cos(x))
Такая запись указывает на то, что над синусом и косинусом проводятся исключительно рациональные операции: сложение и вычитание, умножение на константы, возведение к целому степени, деление. Проще говоря, подынтегральная функция - это рациональная функция от синуса и косинуса.
Такие интегралы сводятся к интегралам от рациональной функции нового аргумента 
подстановкой, которую еще называют универсальной:
тогда
Бывают примеры, когда приведенная подстановка приводит к сложным интегралам. Поэтому для ряда случаев, в силу четности или нечетности подынтегральной функции, существуют более простые подстановки:
а) 
если 
б) 
если 
в) 
если 
Пример 1.
Вычислить интегралы
а) 
б) 
в) 
Решение.
а) Применим тригонометрическую подстановку
На ее основе получим
Подставим в интеграл и проинтегрируем
б) К данному примеру применяем нужную замену
в) Применяем замену из примера б)
-------------------------------------------
Интегрирование рациональных функций от sin(x),cos(x) довольно сложное, поэтому следует бить внимательными при упрощении подынтегральной функции, а также при самом интегрировании. Самая малая опечатка может привести к неправильному результату, не торопитесь вычисляя подобные интегралы.
