ЗНО математика. Застосування похідної. Дотична

Шановні школярі, випускники, абітурієнти, цей розділ допоможе підготуватися до зовнішнього незалежного оцінювання з математики у 2017 року. Відповіді до тестів допоможуть Вам зрозуміти матеріал та методику обчислень, систематизувати та підвищити накопичений рівень знань з математики.

Розділ III. Функції

Завдання 3.1 - 3.45 мають по п'ять варіантів відповідей, із яких тільки одна правильна. Правильно виконане завдання оцінюється 1 балом.

Завдання 3.32 Знайдіть проміжки зростання функції у = х²+ 6*х + 8 .

Розв'язання: На проміжках зростання похідна функції додатна – запам'ятайте це. Знаходимо похідну функції
у' = 2*x+ 6
умови рівності нулю визначаємо точку локального екстремуму
2*x+ 6=0; x=-6/2=-3.
В цій точці похідна функції змінює знак, зліва – від'ємна, справа додатна. Функція зростає на інтервалі
.
Варіант А тестів містить правильну відповідь.
Відповідь: А.

Завдання 3.33 Обчисліть f'(1), якщо кут між дотичною, проведеною до графіка функції у = f(х) у точці з абсцисою х₀ =1, і додатним напрямком осі Оx дорівнює 30°.

Розв'язання: Геометричний зміст похідної в точці полягає в тому, що вона рівна тангенсу кута нахилу дотичної. Знайдемо тангенс 30 градусів

Варіант В ЗНО тестів з математики відповідає знайденому значенню.

Завдання 3.34 До графіка функції у=-0,5х² проведено дотичну у точці з абсцисою х₀ = 3. Обчисліть тангенс кута нахилу цієї дотичної до додатного напряму осі абсцис.

Розв'язання: Обчислимо похідну функції
y'= - 0,5*2*х=-x.
Тангенс рівний похідній в точці дотику
tg(f)=y'(3)=-3.
Графік функції із дотичною наведено на рисунку

графік функції Правильна відповідь це варіант Б тестів ЗНО.
Відповідь: Б.

Завдання 3.35 Знайдіть стаціонарні точки функції у=х ³-3х²+5.

Розв'язання: Стаціонарні точки – це нулі похідної функції. Знайдемо похідну
у'=3х²-6х
та прирівняємо її до нуля
3*x(x-2)=0;
x=0; x=2.
Знайдені стаціонарні точки відповідають варіанту В. Графік функції ілюструє поведінку функції та вигляд біля знайдених точок