ЗНО математика. Тригонометричні рівняння і нерівності

Шановні школярі, випускники, абітурієнти, цей розділ допоможе при підготовці до зовнішнього оцінювання 2017 року з математики. Відповіді до тестів допоможуть Вам зрозуміти матеріал та методику обчислень при підготовці до тестування, систематизувати та підвищити накопичений рівень знань з математики.

Розділ II. Рівняння і нерівності

Завдання 11.64 Вкажіть кількість коренів тригонометричного рівняння

які задовольняють нерівність
Розв'язання: Виконаємо деякі перетворення, щоб звести тригонометричне рівняння до квадратного

Знаходимо дискримінант
D=25-4*2*2=9;
та корені рівняння

Одне значення відкидаємо, другий корінь підставимо в рівняння
cos(x)=-1/2
та знайдемо всі розв'язки з проміжку

Маємо три корені.
Відповідь: 3.

Завдання 11.65 Знайдіть найменший натуральний розв'язок тригонометричної нерівності

Розв'язання: Найшвидше завдання можна розв'язувати графічно. На колі рівність виконується при куті 45 градусів і симетричному відображенні відносно осей. Синус це проекція градусної міри на одиничному колі на вісь Оу.

Таким чином розв'язками будуть інтервали, які запишемо рухом кута від нуля по кругу проти годинникової стріли

Далі градусну міру розв'язків потрібно перевести в числа

Найменше натуральний розв'язок це 3, тобто >3*Pi/4 значення.
Відповідь: 3.

Завдання 11.66 (Т-06, 3) Розв'яжіть систему тригонометричних рівнянь

Запишіть у відповідь ДОБУТОК х₀ *у₀, якщо пара (х₀;у₀) є розв'язком системи рівнянь.
Розв'язання: Звичайно в «лоб» таке рівняння розв'язувати не потрібно. Оцінимо доданки та з аналізу обмежимо корені системи рівнянь. Косинус за модулем не повинен перевищувати одиниці. З першого рівняння бачимо, що права сторона вже містить 1, тобто дужка у 8 степені має дорівнювати 0.
З цієї умови знаходимо одну з невідомих

Знайдене значення підставимо у друге рівняння

Квадратне рівняння можемо переписати у вигляді повного квадрату
(2*x+1)*(2*x+1)=0; x=-1/2.
Виконаємо перевірку чи задовольняє змінна перше рівняння

Отже пара

є розв'язок системи рівняння. Обчислюємо їх добуток
(-1/2)*1=-1/2=-0,5.
Відповідь: -0,5.

Завдання 11.67 Знайдіть усі цілі числа k , при яких тригонометричне рівняння
має розв'язки.
Розв'язання: Мало хто здогадається як обчислити таке рівняння, а схема є. Перетворимо праву сторону рівняння, щоб використати формулу косинуса подвійного кута

За періодичністю функції перетворимо доданок з косинусом.

cos(k*x)=2-sin(x).
Далі проаналізуємо рівняння, синус може приймати значення від -1 до 1. Це значить, що нам потрібно щоб ліва сторона рівняння дорівнювала 1.
З цієї умови знаходимо параметр k
cos(k*x)=0; k=0.
Ось такі складні завдання можуть зустрітися при проходженні ЗНО тестування з математики.
Відповідь: 0.