ЗНО математика. Площа фігури, обмеженої графіками функцій

Шановні школярі, випускники, абітурієнти, цей розділ допоможе підготуватися до зовнішнього незалежного оцінювання з математики у 2017 року. Відповіді до тестів допоможуть Вам зрозуміти матеріал та методику обчислень, систематизувати та підвищити накопичений рівень знань з математики.

Розділ III. Функції

В завданнях 3.46 - 3.62 правильна відповідь оцінюється 2 балами.

Завдання 3.59 Обчисліть площу фігури, обмеженої графіками функцій у=х² , у=2х-х² та віссю абсцис.
Розв'язання: В завданні скоріш за все помилка, оскільки для цих функцій маємо такі точки перетину
х²=2х-х²;
2х(1-x)=0.
Це значить, що вже маємо дві межі інтегрування. І до чого тут вісь абсцис в умові незрозуміло, можливо при підготовці завдань до тестування допущена помилка. Знайдемо площу зображеної фігури
обчисленя площі
Ось так потрібно знаходити площу. Якщо інтеграл у Вас вийшов від'ємним, значить від нижньої кривої віднімали верхню під інтегралом.
Це не є проблемою, але площа у відповіді повинна бути додатною для всіх кривих. Тому для проходження тестів завжди беріть інтеграл за модулем.
Графік функцій і вигляд фігури, площу якої знаходили зображено нижче.
площа між кривими
Маючи такі графіки знаходження площ між кривими стає цікавим заняттям і час проходить швидше.
Відповідь: 1/3.

Завдання 3.60 Обчисліть площу фігури, обмеженої графіками функцій у=х² -2х+2 та у=2+4х-х².
Розв'язання: Прирівнюємо функції і знаходимо точки перетину кривих

2x(x-3)=0; x=0; x=3.
Від верхньої кривої віднімаємо нижню. Багато з Вас запитує – як визначити, яка крива на графіку вище, а яка нижче?
Для парабол це доволі просто – параболи вітками донизу є верхніми (знак при "ікс" в квадраті від'ємний), або першими в інтегралі, вітками догори – віднімаються при інтегруванні (знак при "ікс" в квадраті додатний). Графіки функцій мають вигляд

Обчислюємо площу фігури інтегруванням у визначених межах
обчисленя площі

Площа між кривими рівна 9.
Ось і всі обчислення площі.
Відповідь: 9.