ЗНО математика. Аналіз функції

Шановні школярі, випускники, абітурієнти, цей розділ допоможе підготуватися до зовнішнього незалежного оцінювання з математики у 2017 року. Відповіді до тестів допоможуть Вам зрозуміти матеріал та методику обчислень, систематизувати та підвищити накопичений рівень знань з математики.

Розділ III. Функції

Розв'язання завдань 3.63 - 3.68 повинне мати обґрунтування. Запишіть послідовні логічні дії та пояснення, зробіть посилання на математичні факти, з яких випливає те чи інше твердження.
Якщо потрібно, проілюструйте розв'язання завдань схемами, графіками, таблицями.

Завдання 3.66 Задано функцію

Знайдіть:
а) область визначення заданої функції;
б) нулі заданої функції;
в) усі розв'язки нерівності

Розв'язання:
а) Як бачите, функція має досить складний вигляд. В чисельнику маємо корінь, який вносить свої умови на ОДЗ, в знаменнику логарифмічна функція. Почнемо з чисельника, підкоренева функція повинна приймати значення більші або рівні 0.

Обчислюємо дискримінант

та корені квадратного рівняння

Нерівність виконується між коренями, тобто при значеннях

Далі розглянемо знаменник. Функція під логарифмом повинна бути додатною
5/2-x>0; x<5/2=2,5.
Крім того знаменник не повинен дорівнювати 0

Остаточно областю визначення буде проміжок, який отримали перетином всіх умов

б) Обчислимо нулі функції, тобто нуль чисельника

Переносимо доданки без коренів вправо від знаку рівності і підносимо до квадрату, щоб позбутися ірраціональності

Обчислюємо дискримінант

та корені

Перший корінь не належить області визначення, тому його відкидаємо.

в) Розв'язок нерівності , що функція недодатна отримаємо з наступних міркувань. Нами обмежена область визначення функції. Також відомі нулі чисельника і знаменника.
Як відомо в нулях функція змінює знак. Залишилося знайти знаки функції чисельника та знаменника та перемножити їх на розглядуваних проміжках.
В результаті отримаємо, що нерівність виконується на проміжках

Графік функції мало, що Вам розповість, але при такій кількості обчислень вартує побачити, що ми досліджували

Як бачите нічого особливого на графіку немає – функція з вертикальною асимптотою в двійці.

Завдання 3.67 Задано функцію

Знайдіть:
а) область визначення функції;
б) нулі функції;
в) усі розв'язки нерівності
Розв'язання: Обчислення займуть багато часу та й мало хто із Вас їх розбере. Опишемо основні моменти аналізу.
1. Область визначення знаходимо з двох умов
підкоренева функція в чисельнику має бути додатною x>=-3;
знаменник не повинен перетворюватися в нуль - x<6.
2. Нулі функції знаходимо з умови, що чисельник рівний нулю. В вас повинно вийти значення x=4, погляньте як це виглядає на графіку функції.
3. Розв'язками нерівності буде інтервал [4;6).
Графік функції має вигляд.