Продовжуємо вчитися розв'язувати комбінаторні задачі та застосовувати формули комбінацій, перестановок та розміщень на практиці.
Наведемо таблицю з правилами, яка вчить коли і яку формулу слід застосовувати.
Приклад 1. Скількома способами можна вишикувати в ряд 7 учнів?
Розв'язування: Першого учня можемо вибрати серед 7, другого серед (7-1)=6, що залишилися, і т.д.
Тому таких способів буде
N=7*6*5*4*3*2*1=5040.
З другої сторони, маємо вибірку всі елементи якої входять в неї, не повторюються, порядок розміщення важливий.
Тому за таблицею вище потрібно застосувати формулу перестановок
N=P7=7!=5040.
Відповідь: 5040.
Приклад 2. Скількома способами можна переставити цифри в числі 978352.
Розв'язування: Всі цифри в шестизначному числі різні, першу цифру можна обрати 6 способами, другу 5 способами(першу вибрано), третю 4 (перші дві вибрано) і т.д.
по правилу множення подій всього способів
6*5*4*3*2*1=720.
або маємо кількість всіх перестановок з 6-х елементів
тому N=Р6=6!=720.
Відповідь: 720.
Приклад 3. Скільки різних чисел можна отримати перестановкою цифр в числі 553334.
Розв'язування: Маємо 6-не число, цифри якого повторюються.
5 - повторюється двічі, 3 - тричі.
Тому тут застосовуємо формулу перестановок з повтореннями
Р6(2,3,1)=6!/(3!*2!*1!)=720/12=60.
Відповідь: 60.
Приклад 4. Скільки різних слів можна скласти перестановкою букв в слові ЗАКАРПАТТЯ.
Розв'язування: Задача, як і попередня на перестановки з повтореннями.
Слово ЗАКАРПАТТЯ має 10 букв,
три букви А та дві Т.
Тому кількість різних "слів" знаходимо з формули
Р10(3,2,1,..)=10!/(3!*2!)=302400.
Відповідь: 302400.
Приклад 5. У мами є 3 яблука і 4 груші. Кожного дня протягом тижня вона видає по одному. Скількома способами це можна зробити?
Розв'язування: Маємо групи {я, г,я, г,я,г,г}. Всього перестановок з 4+3=7 елементів можна зробити 7!, але слід врахувати, що в деяких перестановок одні й ті елементи будуть поміняні тільки місцями, тому їх відкидаємо.
Їх кількість 3!*4!.
В результаті отримаємо:
N=7!/(3!*4!)=35.
Відповідь: 35.
Приклад 6. В поїзді 9 вагонів. Скількома способами можна розсадити 4-х чоловік, щоб вони їхали в різних вагонах.
Розв'язування: Оскільки всі повинні їхати в різних вагонах, то потрібно вибрати 4 вагони з 9 з врахуванням порядку (номера вагонів різні). А це розміщення з 9 по 4, n=9, m=4.
Обчислюємо:
A94 =9!/(9-4)!= 9*8*7*6=3024.
Відповідь: 3024.
Приклад 7. Скількома різними способами можна вибрати 4 книги з 8 книг?
Розв'язування: У вибірку входять не всі елементи, порядок важливий, книги не повторюються.
Тому кількість різних способів обчислюємо за формулою комбінацій з 8 по 4:
Відповідь: 70.
Приклад 8. В групі 9 чоловіків. Скільки можна утворити різних підгруп при умові, що в підгрупу входить не менше трьох чоловіків?
Розв'язування: Не менше 3-х чоловік, тоді 3+6 або 4+5 чоловік (5+4, 6+3 – ті ж самі комбінації). В кожній вибірці важливий лише склад, оскільки ролі не важливі − тому використовуємо сполучення з n різних елементів по m:
C93=9!/(3!*6!)=84.
Число вибірок з 3-х чоловіків: 84.
С94=9!/(4!*5!)=126.
Число вибірок з 4-х чоловіків: 126.
Сумуємо
N=84+126=210 - підгруп.
Відповідь: 210.
Приклад 9. Яких чисел від 1 до 1 000 000 більше: тих, які містить одиниці в записі, чи тих, в яких одиниця не зустрічається?
Розв'язування: Обчислюємо кількість чисел від 1 до 999999 (число 1 000 000 містить одиницю единицу, тому його відкидаємо), при записі яких не використовуємо одиницю.
Кожну цифру можна вибрати 9 способами (будь-яка цифра окрім 1), тому всі 6 цифр за правилом множення можна вибрати 9^6 способами (якщо в числі до значущих цифр стоять нулі, то ми їх просто відкидаємо). При цьому один варіант (000000) потрібно відкинути, оскільки число 0 не розглядається.
Отримаємо N=96−1=531440 чисел, що не містять одиниці.
Відповідно тих, що містять одиницю буде
1000000-531440= 468560.
Робимо висновок, що чисел без одиниці до мільйона більше, ніж тих що мають одинички.
Приклад 10. Скільки різних дробів можна скласти з чисел 2, 5,7, 11, 13, 17, 21 так, щоб кожний дріб містив два різних числа?
Скільки серед них буде правильних дробів?
Розв'язування: Різних дробів із 7 чисел: 2, 5, 7, 11, 13, 17, 21 можна скласти
C72*2=7!/(2!*6!)*2=42.
(C72 способів вибрати два числа з 7, і двома способами складаємо з них дріб: спершу одне число - чисельник, друге - знаменник, потім навпаки).
Тому серед 42 дробів рівно половина 21 будуть правильними (чисельник менший знаменника):
C72=7!/(2!*5!)=7*6/2=21 спосіб вибрати два числа із 7, і єдиний спосіб скласти дріб, щоб чисельник був менший знаменника.
Відповідь: 30, 15.
Приклад 11. В шахматних змаганнях беруть участь 9 шахістів, причому правила складені так, щоб кожний з них зіграв з іншим одну гру. Скільки всього партій прийшлося організувати на змаганнях?
Розв'язування: Спосіб 1. В одній грі участь беруть 2 гравці, тому потрібно знайти кількість способів вибору 2-х з 9, причому порядок в таких парах не важливий.
Застосовуємо формулу сполучень з 9 по 2
N=С92=9!/(2!*(9-2)!)=9!/(2!*7!)=9*8/2=36.
Спосіб 2. Перший шахіст зіграє 8 партій (з 2-м, 3-м, 4-м, і так до 9-го),
2- ий – 7 партій (з 3-м, 4-м, і т.д. до 9-го, тут враховано, що з першим парія вже була),
3-ій − 16 партійй,
...
8 − 1 партію з 9 гравцем.
Разом:
8+7+..+1=(8+1)/2*8=36.
Відповідь: 36.
Приклад 12. Групу з 20 студентів потрібно розділити на 4 групи, з кількостями в групах рівними 3, 4, 6, 7.
Скількома способами це можна зробити?
Розв'язування: Порядок в групі не важливий, важливо щоб групи мали вказані кількості студентів.
Застосовуємо формулу сполучень.
Першу групу формуємо С з 20 по 3 способами
С203=20!/(3!*17!)=20*19*18/6=1140.
Тоді залишиться вибрати другу групу C з (20-3)=17 по 4 способами,
третю − С з (17-4)=13 по 6 способами,
і четверту С з (13-6)=7 по 7 способами, що рівно 1 способу.
Оскільки одночасно потрібно сформувати 4 групи то за правилом комбінаторного множення отримаємо
4 групи по 3, 4, 6, 7 студентів можна сформувати 4655851200 способами.
Відповідь:4655851200.
Приклад 13. В одинадцятому класі 35 учнів, серед яких 15 хлопців і 20 дівчат.
Яка ймовірність того, що при виборі 8 чоловік для поїздки на екскурсію будуть вибрані:
1) всі дівчата?
2) шестеро хлопців і дві дівчини?
Розв'язування: Кількість способів вибрати 8 учнів з 35 рівна
n=C(35,8)=35!/(8!*(35-8)!)=23535820.
1) Кількість сприятливих варіантів вибору 8 дівчат серед 20, що можуть їхати, рівна
m=C(20,8)=20!/(8!*12!)=125970.
Ймоврність що поїдуть одні дівчата рівна
p=m/n≈0,0053.
2) Кількість способів вибрати 6 хлопців з 15 і 2 дівчини з 20 рівна
m1=C(15,6)*С(20,2)=15!/(6!*9!)*20!/(2!*18!)=950950.
Тоді ймовірність, що буде вибрано 6 хлопців і 2 дівчини рівна:
p=m1/n≈0,0404.
Відповідь: 0,0053; 0,0404.
Приклад 14. Правління підприємства складається з 9 осіб. Скількома способами можна з цих людей обрати трьох керівників - президента, директора та комерційного директора?
Розв'язування: На роль директора можна обрати 1 з 9 осіб, тоді залишиться 8, тому на роль президента 1 з 8, після чого залишиться 7 кандидатів на роль комерційного директора.
Тому кількість всіх способів обрати трьох керівників рівна:
N=9*8*7=504
Відповідь: 504.
На наступному уроці продовжимо розв'язувати комбінаторні задачі.
Якщо маєте готові розв'язки з комбінаторики, які були б корисними для учнів та студентів, то просимо їх надсилати нам!
