Сьогодні продовжимо вивчати теорему множення ймовірнестой на поширених прикладах, але спершу трохи теорії, щоб Ви пригадали коли її можна застосовувати.
Означення: події А і B називаються незалежноими, якщо ймовірність кожної з них не залежить чи відбулась інша подія.
P(A/B)=P(A), P(B/A)=P(B).
Незалежність подій має взаємну властивість: якщо подія A не залежить від події B, то і подія B не змінює A. Те саме стосується незалежності спряжених, тобто протилежних подій.
Теорема множення ймовірностей:
Ймовірність добутку двох незалежних подій А,В дорівнює добутку ймовірностей цих подій
Р(А*В) = Р(А)•Р(В).
Формула поширюється на будь-яку кількість незалежних між собою подій
Р(А1..An) = Р(А)•...•Р(An).
І для себе щоб знали, що добуток двох чи більше незалежних подій, це також подія, тому можна записати
С=А•В, Р(С) = Р(А)•Р(В).
Приклад 1. Гральний кубик кидають двічі. Знайти ймовірність того, що:
1) обидва рази випаде непарна кількість очок?
2) перший раз випаде парна кількість очок, а другий кратна трьом?
Яка з подій ймовірніша?
Обчислення: Випишемо, які значення можуть випасти при однократному підкиданні кубика
{1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Їх кількість рівна 6.
1) Подія A - випала непарна кількість очок, тобто одне з чисел
{1, 3, 5}.
Ймовірність такої події рівна
P(A)=3/6=1/2.
так як кількість сприятливих випадків події size(A)=3.
Подія B -підкидання двічі кубика є добутком незалежних подій, тому ймовірність рівна
P(B)=P(A)•P(A)=1/2•1/2=1/4.
2) Множина сприятливих подій - парна кількість очок
{2,4,6}. p1=3/6=1/2.
Кратних трьом є тільки дві грані грального кубика
{3,6}. p2=2/6=1/3.
Тому ймовірність події С, що перший раз випаде парна кількість, а другий кратна трьом рівна
P(С)=p1•p2=1/2•1/3=1/6.
Порівнянням ймовірностей 1/4>1/6 переконуємося, що перша подія має більші шанси відбутися.
Відповідь: 1/4, 1/6, перша.
Приклад 2.У двох бочках плавають карасі і коропи в перемішку. В першій бочці 60% карасів, в другій 70%. Навмання з першого і другого контейнеру виловлюють по рибі. Яка ймовірність, що:
1) виловлять тільки карасів;
2) виловлять риб одного сорту;
3) виловлять різні риби.
Вважати, що кількість риб в бочках однакова.
Обчислення: Нехай подія А- виловили карася з першої бочки, B-з другої бочки. Тоді ймовірності подій А та B
p(A)=60%/100%=0,6.
p(B)=70%/100%=0,7.
Ймовірності протилежних подій - виловили коропа відповідно рівні
p(-A)=1-0,6=0,4;
p(-B)=1-0,7=0,3.
1) Подія С - виловить тільки карасів. За теоремою множення ймовірностей обчислюємо p(C):
P(C)=p(AB)=p(A)•p(B)=0,6•0,7=0,42.
2) Подія D - виловлять риб одного сорту означає, що або карасів або коропів виловлять з двох бочок.
"Або" в ймовірності відповідає за додавання ймовірностей
P(D)=p(A)•p(B)+p(-A)•p(-B)=p(C)+0,4•0,3=0,54.
3) Виловлять різні риби (E), означає, що або з першої бочки карася і з другої коропа, або з першої коропа і з другої карася. Інших варіантів немає, проте слід про обидва варіанти не забувати на практиці.
Тому через добуток ймовірностей обчислюємо
P(E)= p(A)•p(-B)+p(-A)•p(B)=0,6•0,3+0,4•0,7=0,46.
Відповідь: 0,42; 0,54; 0,46.
Приклад 3. У трьох партіях 90%, 80% і 70% доброякісних виробів відповідно. Навмання вибирають по одному виробу із кожної партї. Яка ймовірність виявити серед них: а) хоча б один недоброякісний виріб; б) лише один недоброякісний виріб в) три недоброякісні вироби?
Обчислення: Подія C - хоча б один недоброякісний є протилежною до всі якісні. Тому щоб не виконувати громіздких обчислень від повної ймовірності віднімемо ймовірність протилежної події
P(С)=1-p1•p2•p3=1-0,9•0,8•0,7=0,504.
Подія D -лише один недоброякісний, означає, що один недоброякісний, а решта добрі, і так для кожної можливої партії, тому ймовірність рівна P(D)=q1•p2•p3+p1•q2•p3+p1•p2•q3=0,1•0,8•0,7+0,9•0,2•0,7+0,9•0,8•0,3=0,2481.
Ймовірність вибрати три неякісних вироби (F) рівна добутку трьох ймовірностей q:
P(F)=q1•q2•q3=0,1•0,2•0,3=0,006.
Відповідь:0,504; 0,2481; 0,006.
Приклад 4. Три стрільці незалежно один від одного стріляють по мішені. Ймовірність влучення в мішень для першого дорівнює 0,7, для другого - 0,8, для третього – 0,9.
1) Яка ймовірність, що всі влучать?
2) Знайти ймовірність, що ніхто не влучить
3) Яка ймовірність, що хоча б двоє з них влучить?
4) Яка ймовірність, що влучить лише один стрілець?
5) Знайти ймовірність, що не більше одного стрільця влучиь по мішені.
Обчислення: Уважно проаналізуйте готові відповіді до завдання. Це дасть Вам ширше уявлення, як такі задачі розв'язувати.
Багато онлайн ресурсів пропонують розв'язки прикладів не загострюючи Вашої уваги на деталях обчислень.
Випишемо з умови ймовірності влучань стрільців та обчислимо ймовірності протилежної події – "не влучили"
p1=0,7; q1=1-0,7=0,3;
p2=0,8; q2=1-0,8=0,2;
p3=0,9; q3=1-0,9=0,1.
Постріли по мішені є незалежними подіями, стрільці один на одного не впливають.
1) За теоремою множення подій імовірність, що всі влучать рівна
P1=p1•p2•p3=0,7•0,8•0,9=0,504.
2) Умова, що ніхто не влучив, означає, що ні перший, ні другий, ні третій стрілець не влучив у ціль.
Цьому відповідає добуток ймовірностей протилежних подій
P2=q1•q2•q3=0,3•0,2•0,1=0,006.
3) Подія хоча б двоє влучать рівносильна тому, що або двоє з трьох або всі троє влучать (вже знаємо з (1)).
"Або" на мові ймовірностей означає додавання ймовірностей.
Оскільки події між собою незалежні то застосовуємо теорему про добуток ймовірностей
P(A)=p1•p2•q3+q1•p2•p3+p1•q2•p3+p1•p2•p3=
=0,7•0,8•0,1+0,3•0,8•0,9+0,7•0,2•0,9+0,504=0,628.
4) Ймовірність, що влучить один стрілець означає, що один з трьох. Або перший, або другий, або третій.
Тому в формулі ймовірностей дістанемо суму добутків вигляду
P4=p1•q2•q3+q1•p2•q3+q1•q2•p3=
=0,7•0,2•0,1+0,3•0,8•0,1+0,3•0,2•0,9=0,092.
5) Ймовірність, що не більше одного стрільця влучить по мішені означає, що або один з трьох влучить або ніхто з них не влучить. Такі ймовірності вже знайдені в пункті 2) і 4), тому залишилося їх просумувати:
P5=P2+P4=0,006+0,0092=0,0152.
Відповідь: 0,504; 0,006; 0,628; 0,092.
Приклад 5. Робітник обслуговує три верстати. Ймовірність того, що протягом години його уваги не буде потребувати перший верстат, дорівнює 0,8, другий – 0,6, третій – 0,5. Визначити ймовірність того, що протягом години уваги робітника
а) не будуть вимагати рівно два верстати;
b) вимагатимуть усі верстати.
с) вимагає не більше одного верстату.
d) яка з попередніх подій найвірогідніша?
Обчислення: а) Подія А полягає в тому, що увагу не вимагають 2 з 3 верстатів, тобто потрібна увага до одного з 3 верстатів.
Позначимо
p1=0,8, p2=0,6, p3=0,5 – ймовірності, що відповідні верстати не вимагають уваги.
Тоді
q1=1-0,8=0,2
q2=1-0,6=0,4
q3=1-0,5=0,5 – ймовірності, що 1, 2, 3 –й верстати вимагають уваги.
Уваги потребує один з тьох означає або перший, або другий, або третій.
На мові ймовірності "або" означає додавання "+", тому ймовірність події рівна:
P(A)=q1*p2*p3+p1*q2*p3+p1*p2*q3=
= 0,2*0,6*0,5+0,8*0,4*0,5+0,8*0,6*0,5=0,46
b) Подія В – уваги вимагають усі три верстати.
Ймовірність такої події рівна
p(B)=q1*q2*q3=0,2*0,4*0,5=0,04
c) Подія C – уваги вимагагає не більше одного верстата означає, що або 1 з 3 вимагає уваги або жодного.
Один з трьох вимагає уваги це те ж саме, що 2 з 3 не вимагають, тому ймовірність такої події згідно пункту а) рівна 0,46.
Ймовірність, що жоден не вимагає рівна
p(0)=p1*p2*p3=0,8*0,6*0,5=0,24
За правилом сумування ймовірностей знаходимо p(C):
p(C)=0,46+0,24=0,7
d) Найвірогідніша та з подій A, B, C, у якої ймовірність вища. Порівнюючи значення приходимо до висновку, що найвірогідніше уваги вимагає не більше одного верстату.
Приклад 6. В квадрат зі стороною 4 см вписано круг, що дотикається до сторін квадрата. Знайти ймовірність, що серед двох точок кинутих в квадрат:
1) обидві попадуть в круг;
2) жодна не попаде в круг.
Відповідь округлити до тисячних.
Обчислення:Задача на геометричну ймовірність. Побудуємо допоміжний рисунок до задачі
Ймовірності потрапити точці в одну з фігур будуть пропорційні їх площам, це Ви маєте усвідомити і використовувати при обчисленні подібних задач.
Площа круга зі стороною a=4 см рівна S1=4•4=16 см2, площа круга радіусом r=2 см рівна S2=π•r^2=4π≈12,56 см2.
Ймовірність, що точка кинута в квадрат попаде в круг рівна
p(A)=S2/S1=12,56/16≈0,785.
1) Оскільки кидання точок є незалежними подіями, то ймовірність, що обидві попадуть в круг (B) рівна
p(B)=p(A)•p(A)=0,785•0,785≈0,616.
2) Подія C, що точка не попаде в круг є протилежною до події А, тому її ймовірність визначимо віднявши від повної ймовірності P(А):
P(C)=1-p(A)=1-0,785=0,215.
Такий результат можна отримати, якщо площу за межами круга (зафарбовано жовтим) розділити на площу круга
P(C)=(S1-S2)/S1=(16-12,56)/16=0,215.
За теоремою множення ймовірностей обчислимо імовірність, що обидві точки не попадуть в круг
P=P(C)•P(C)=0,215•0,215≈0,046.
Відповідь: 0,785; 0,046.
Задачі на самопідготовку з теми "Теорема множення ймовірностей незалежних подій"
Задача 1. Екзаменаційний білет містить три питання. Ймовірність того, що студент знає відповідь на перше питання-0,7, друге -0,8, третє - 0,9.
Знайти ймовірність, що студент відповів правильно на:
1) всі питання;
2) 2 з 3 питань.
3) Яка ймовірність, що студент відповів правильно тільки на одне питання?
Задача 2. Конвеєр випускає деталі, 90% яких стандартні. Для контролю якості робітник відбирає три деталі.
Яка ймовірність, що:
1) всі деталі стандартні?
2) лише перша нестандартна з 3?
3) хоча б дві деталі стандартні?
Задача 3. Підкидають гральний кубик тричі. Яка ймоврність, що випаде три шістки?
Яка ймовірність, що першим випаде просте число, а наступними кратні 2?
Знайти ймовірність, що на крайніх кубиках випадуть одинички, а всередині парне число?
На сайті Вас чекають нові готові відповіді до завдань з ймовірності, диф. рівнянь, геометрії, переходіть і вивчайте всеможливі алгоритми розв'язання прикладів.
