Наведені та структуровані основні характеристики тригонометричних функцій sin(x), cos(x), tg(x), ctg(x), які є вкрай необхідними при дослідженні графіків та поведінки цих функцій, спрощенні тригонометричних виразів, обчисленні рівнянь та нерівностей.
Основну частину присутніх тут формул Ви повинні вміти легко застосовувати на практичних, а для цього частину матеріалу потрібно завчити та знати.
Це не стосується всіх формул, але частину основних тригонометричних тотожностей, а також формули синуса чи косинуса подвійного кута слід запам'ятати.
Cинус y=sin(x)
Область визначення: D(y): x∈R
Область допустимих значень: E(y):y∈[-1;1], тобто -1≤sin(x)≤1.
Функція непарна: sin(-a)=sin(a).
Функція періодична з найменшим додатним періодом 2Pi: sin(a+2Pi)=sin(a).
Точки перетину з осями координат: (0,0) на осі Oy; (Pi·k;0), k∈Z на осі Ox.
Проміжки знакопостійності:
y>0, якщо x∈(2Pi·k;Pi+2Pi·k), k∈Z;
y<0, якщо x∈(Pi+2Pi·k;2Pi+2Pi·k), k∈Z.
Проміжки зростання: [-Pi/2+2Pi·k; Pi/2+2Pi·k], k∈Z, звідси ymax=1 у точках xmax=Pi/2+2Pi·k.
Проміжки спадання: [Pi/2+2Pi·k; 3Pi/2+2Pi·k], k∈Z, звідси ymin=-1 у точках xmin=-Pi/2+2Pi·k.
Косинус y=cos(x)
Область визначення: D(y): x∈R
Область значень: E(y):y∈[-1;1], тобто -1≤cos(x)≤1.
Функція парна: cos(-a)=cos(a).
Функція періодична з найменшим додатним періодом 2Pi: cos(a+2Pi)=cos(a).
Точки перетину з осями координат: (0;1) на осі Oy, (Pi/2+Pi·k;0), k∈Z на осі Ox;
Проміжки знакопостійності:
y>0, якщо x∈(-Pi/2+2Pi·k;Pi/2+2Pi·k), k∈Z;
y<0, якщо x∈(Pi/2+2Pi·k;3Pi/2+2Pi·k), k∈Z.
Проміжки зростання: [Pi+2Pi·k; 2Pi·k], k∈Z, звідси ymax=1 у точках xmax= 2Pi·k.
Проміжки спадання: [2Pi·k; Pi+2Pi·k], k∈Z, звідси ymin=-1 у точках xmin= Pi+2Pi·k.
Тангенс y=tg(x)
Область визначення: D(y):x≠Pi/2+Pi·k, k∈Z;
Область значень: E(y): y∈R, тобто -∞≤tg(x)≤+∞.
Функція непарна tg(-a)=-tg(a).
Функція періодична з найменшим додатним періодом Pi: tg(a+Pi)=tg(a).
Точки перетину з осями координат: (0;0) на осі Oy; (Pi·k;0), k∈Z на осі Ox.
Проміжки знакопостійності:
y>0, якщо x∈(Pi·k;Pi/2+Pi·k), k∈Z;
y<0, якщо x∈(-Pi/2+Pi·k; Pi·k), k∈Z .
Проміжки зростання: (-Pi/2+Pi·k; Pi/2+Pi·k), k∈Z.
Найменших і найбільших значень функція не має .
Котангенс y=ctg(x)
Область визначення: D(y):x≠ Pi·k, k∈Z;
Область значень: E(y): y∈R, тобто -∞≤ctg(x)≤+∞.
Функція непарна ctg(-a)=-ctg(a).
Функція періодична з найменшим додатним періодом Pi: ctg(a+Pi)=ctg(a).
Точки перетину з осями координат:
не перетинає вісь Oy;
(Pi/2+Pi·k;0), k∈Z на осі Ox
Проміжки знакопостійності:
y>0, якщо x∈(Pi·k;Pi/2+Pi·k), k∈Z;
y<0, якщо x∈(Pi/2+Pi·k;Pi+Pi·k), k∈Z.
Проміжки спадання: (Pi·k;Pi+Pi·k), k∈Z.
Найменших і найбільших значень функція не має.
Значення тригонометричних функцій для деяких кутів:
α | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | π | 3π/2 |
sinα | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 | 0 | -1 |
cosα | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 | -1 | 0 |
tgα | 0 | √3/3 | 1 | √3 | - | 0 | - |
ctgα | - | √3 | 1 | √3/3 | 0 | - | 0 |
Формули зведення:
Функція | 900+α | 1800+α | 2700+α | -α | 900-α | 1800-α | 2700-α |
sinα | cosα | -sinα | -cosα | -sinα | cosα | sinα | -cosα |
cosα | -sinα | -cosα | sinα | cosα | sinα | -cosα | -sinα |
tgα | -ctgα | tgα | -ctgα | -tgα | ctgα | -tgα | ctgα |
ctgα | -tgα | ctgα | -tgα | -ctgα | tgα | -ctgα | tgα |
Знаки тригонометричних функцій:
Зв'язок між тригонометричними функціями одного аргументу:
У наведених формулах перед знаком радикала слід взяти знак «плюс» або «мінус»
залежно від того, в якій чверті лежить кут α саме так, щоб знак тригонометричної
функції, який стоїть у лівій частині збігався зі знаком величини, що стоїть у правій
частині рівності.
Основні тригонометричні тотожності
Універсальна тригонометрична підстановка
Тригонометричні функції суми і різниці аргументів
Тригонометричні функції подвійного, потрійного і половинного
аргументів
Перетворення суми тригонометричних функцій у добуток
Перетворення добутку тригонометричних функцій у суму
Далі будуть наведені відповіді до поширених на практиці прикладів з тригонометрії на знаходження значень тригонометричних виразів, розв'язування рівнянь та нерівностей на яких буде показано всю силу наведених вище формул.