Система m лінійних рівнянь з n невідомими називається однорідною якщо всі вільні члени b1=b2=...=bm=0 рівні нулю

Нульовий розв'язок
x1=0;x2=0; ...xn=0
завжди задовольняє однорідну систему рівнянь. Ненульовий розв'язок (якщо він існує) знаходять методом Гауса. Якщо кількість рівнянь і невідомих однакові m=n і головний визначник рівний нулеві то однорідна система має безліч розв'язків. Кількість залежних розв'язків рівна рангу системи лінійних рівнянь r(A), решта приймають будь-які значення.
Найчастіше на практичних заняттях зустрічаються системи двох однорідних рівнянь з трьома невідомими та трьох з трьома.
Нехай маємо перший випадок
однорідна система рівнянь
Якщо мінори другого порядку ненульові, то розв'язок можна знайти за формулами
розв'язок системи рівнянь
розв'язок системи рівнянь
розв'язок системи рівнянь
де t - будь-яке дійсне число.У випадку однорідної системи трьох рівнянь наступного вигляду
однорідна система рівнянь
можливі три варіанти:

І. Детермінант рівний нулю , тоді система має безліч розв'язків.

ІІ. Коли хоча б один з детермінантів другого порядку відмінний від нуля:
Якщо перший з них відмінний від нуля

то розв'язки знаходимо за формулами наведеними для двох рівнянь.

Якщо маємо два ненульові визначнии

то за формулами

де - дійсне число.

ІІІ. Якщо і мінори другого порядку рівні нулю, то система зводиться до одного рівняння з трьома невідомими. Надаючи двом невідомим довільних значень знаходять третє.

Розв'яжемо приклади із збірника задач Дубовика В.П., Юрика І.І. "Вища математика" для закріплення матеріалу на практиці.

Приклад 1. Розв'язати систему рівнянь.
(1. 205) однорідна система рівнянь

Розв'язок: Маємо однорідну систему з двох рівнянь та трьох невідомих.
Знайдемо визначник другого порядку перших двох стовпців матриці

Оскільки він відмінний від нуля то розв'язок знаходимо за правилами



Таким способом отримали наступний результат

Для двох рівнянь достатньо зрозумілі і прості розрахунки.

 

Приклад 2. Розв'язати систему рівнянь.
(1.208) однорідна система рівнянь

Розв'язок: Дана однорідна система має три рівняння і три невідомі. Спершу обчислимо визначник матриці за правилом трикутників
визначник 3 порядку


Він приймає ненульове значення. Це дозвояє знайти корені системи рівнянь за форулами



Отримали розв'язок, який заежить від параметра

 

Приклад 3.Знайти розв'язки системи рівнянь.

(1. 213) однорідна система рівнянь

Розв'язок:Маємо однорідну систем з 4 рівнянь з 5 невідомими. Перепишемо рівняння системи так, щоб невідомі знаходилися одні під одними

та спростимо систему методом Гауса.
Для цього перетворимо в нуль всі коефіцієнти при x1 після першого рядка
метод Гауса
Виключаємо з нижніх рівнянь x2
метод Гауса
Отримали східчасту систему, яку розв'язуємо з кінця

Знайдені корені підставляємо в третє рівняння

З другого рівняння знаходимо x2


Всі знайдені значення підставляємо в перше рівняння

Кінцевий розв'язок однорідної системи матиме вигляд

Це рівносильно запису, що x5=t , а всі попередні виражаються через останній, тобто через параметр.
При розв'язуванні однорідних систем лінійних рівнянь вищих порядків метод Гауса є незамінним. При системах другого, третього порядку розв'язати можна швидше за наведеними на початку статті формулами, в порівнянні з методом Гауса. Спробуйте розв'язати подібні приклади самостійно та виберіть для себе зручнішу методику.