Задачі на розлад функцій в ряди Тейлора та Маклорена дуже важливі в курсі вищої математики при наближеному обчисленні значень функцій в певних точок, наближенні похідних у точці, складних границь. Тому уважно розберіться з наведеним нижче матеріалом. Почнемо з основних означень.
Рядом Тейлора для функції f(x) при умові, що вона визначена в околі точки a, а також має в ній скінченні похідні будь-якого порядку називається ряд вигляду
Нехай часткова сума функціонаьного ряду та його залишок задано формулами
тоді формула Тейлора має вигляд
Rn(x) називають залишковим членом формули Тейлора.
Нескінченно диференційовна функція f(x) на інтервалі (x0-R; x0+R) розкладається в ряд Тейлора лише у випадках, коли на цьому інтервалі виконується умова - границя залишового члену прямуэ до нуля
.
При x0=0 формула Тейлора перетворюється в ряд Маклорена:
РОЗКЛАД В РЯД МАКЛОРЕНА ЕЛЕМЕНТАРНИХ ФУНКЦІЙ
Приведені формули розкладу тригонометричних, показникових, та логарифмічної функції найчастіше зустрічаються в завданнях. Для розкладу таких функцій використовуйте формули
Розклад функцій в ряди Тейлора та Макорена
Приклад 1. Розвинути функцію в ряд Тейлора в околі даної точки.
√(1+x2), x0=0.
Обчислення: Функцію в ряд Тейлора в околі x0 можна розкласти за формулою:
де f(k)(x0) - значення k-похідних функції в точці x0.
Запишемо функцію 
, де 
.
Знайдемо похідні до n-го порядку в точці x0=0:
Підставляємо в формулу і записуємо розвинення функції в ряд Тейлора
Приклад 2. Розвинути функцію в ряд Тейлора в околі нуля, користуючись розвиненням синуса.
f(x)=x•sin(x).
Обчислення: Запишемо стандартне розвинення синуса в околі нуля:
Для заданої функції маємо:
t=2x.
Підставляємо в f(x) та записуємо формулу загального члена
Приклад 3. (9.293) Розвинути в ряд Тейлора функцію f(x)=ln(x) за степенями (x-1).
Розв'язок. Розклад функції за степенями (x-1) слід розуміти, як розклад в точці x=1. Обчислимо значення функції та її похідних в цій точці
Підставляємо отримані значення в формулу Тейлора
Спрощено ряд можна записати у вигляді суми
Дослідимо збіжність одержаного ряду за ознакою Деламбера
Знаходимо границю наступного члена ряду до попереднього
З умови R<1 знаходимо область збіжності
Дослідимо на збіжність краї інтервалу.
При x=0 ряд
перетворюється на гармонічний зі знаком мінус. Цей ряд розбіжний.
При x=2 отримаємо знакопочережний ряд вигляду
який збігається.
Таким чином, областю збіжності ряду є проміжок (0; 2].
Досліджуючи залишковий член ряду
формули Тейлора для заданої функції, переконуємося, що в заданому інтервалі ряд збігається і залишковий член ряду суттєвого вкладу при великих n не вносить.
Приклад 4. (9.305) Розвинути в ряд Маклорена функцію f(x)=x*exp(-2x).
Розв'язок. Скориставшись формулою розкладу експоненти, отримаємо
Домножуючи на x, отримаємо розклад заданої функції у вигляді такого ряду
або в спрощеній формі
За ознакою Деламбера знайдемо область збіжності ряду
Тобто, радіусом збіжності буде вся дійсна вісь
На цьому аналіз функції завершено.
Розклад в ряд Тейлора та Маклорена з практичної сторони базується на вмінні знаходити похідні та знаннях розкладу елементарних функцій. Подальший аналіз збіжності ряду та встановлення радіусу збіжності розглянуто на попередніх уроках і з практичної сторони зводиться до відшуканні границь.
