Розглянемо готові відповіді до тестових завдань на раціональні рівняння. Загалом розв'язано 35 прикладів, які містять прості лінійні, квадратичні нерівності, завдання з параметром та нерівності з модулями.
З допомогою простих прикладах Ви зможете швидко відновити в пам'яті шкільну програму з за 9,10 класи.
Прості пояснення до задач допоможуть Вам за короткий час підготуватися до ЗНО тестів з математики.
Пропонуємо завантажити відповіді (Посібник для підготовки до зовнішнього незалежного тестування з математики).
Автори: Анатолій Капіносов, Галина Білоусова, Галина Гап'юк, Сергій Мартинюк, Лариса Олійник, Петро Ульшин, Олег Чиж
Зміст: В книзі наведені рекомендації щодо проходження ЗНО з математики та зразки тестових завдань.
Завдання кожної з тем розміщені в порядку зростання складності.
Рекомендуємо всім переглянуи готові відповіді до посібника, що розміщені на сайті, а також самостійно пройти теми, з якими маєте труднощі на практичних.
Тема 9. Цілі раціональні нерівності
Розпочнемо розбір з простих завдань, які більшість з Вас проходили на шкільних уроках в 9, 10 класах. Більш детально зупинимося на прикладах, які обчислюють методом інтервалів чи переходом до системи нерівностей.
Приклад 1 Розв'язати нерівність -4x<20.
Обчислення: З допомогою важливого практичного правила, яке описане далі, перепишемо нерівність у вигляді
-4x<20, x>20:(-4), звідси x>-5.
Будуємо числову вісь та заштриховуємо на ній всі точки, що відповідають отриманій умові.
Обидві частини нерівності можна ділили на від'ємне число, але знак нерівності при тому змінюємо на протилежний.
Нерівність строга, тому число -5 не включаємо у розв'язок цієї нерівності, остаточно отримаємо x∈(-5;+∞).
Точки, які не розв'язками та служать краями інтервалів не замальовують.
Відповідь: (-5;+∞) – Г.
Приклад 9.2 Розв'язати нерівність (x-1)/2<2.
Обчислення: Спершу позбудемося дробового вигляду, помноживши обидві сторони нерівності на двійку. Далі невідому залишаємо з однієї сторони, а сталі групуємо з іншої.
(обидві частини нерівності множили на додатне число, тому знак нерівності не змінили).
На інтервалі корені рівняння матимуть вигляд.
Кінцевий розв'язок нерівності записуємо інтервалом x∈ (-∞;5).
Відповідь: (-∞;5) – Б.
Приклад 9.3 Розв'язати нерівність 
Обчислення: Зведемо перші два дроби до спільного знаменника, далі виконаємо прості перетворення
Знак "менше або рівно" означає, що нерівність не строга, тому число 24 включаємо у розв'язок.
На осі ця точка буде замальованою, що означає, що вона теж є розв'язком.
Записуємо знайдений інтервал x∈(-∞;-24].
Відповідь: (-∞;-24] – Д.
Приклад 9.4 Розв'язати нерівність 2<x-7≤5.
Обчислення: Маємо двосторонню нерівність, яку на практиці розписуємо у вигляді системи двох нерівностей:
Обчислюємо як дві прості нерівності, а от сумарний результат виписуємо на основі правила:
розв'язком системи нерівностей є інтервал, який задовільняє кожну з нерівностей.
На практиці ним буде спільний перетин усіх інтервалів
тобто значення змінної в інтервалі x∈(9;12].
Відповідь: (9;12] – В.
Приклад 9.5 Розв'язати нерівність -3≤-x+4<2.
Обчислення: Маємо раціональний вираз, обмежений з однієї сторони строгою нерівністю, з другої - нестрогою. Хто призабув, то нагадуємо, що нерівність називається нестрогою коли маємо "менше рівне" або "більше рівне".
Якщо ж знаки "менше" або "більше" то нерівність строга.
Зводимо до системи з двох нерівностей, та методом групування невідомих розв'язуємо її:
Спільні точки перетину двох інтервалів наведемо на числовій осі
В нерівностях, як і в рівняннях можна доданки переносити з однієї сторони в іншу, змінюючи при цьому знаки доданків на протилежні.
Розв'язку нерівності відповідає інтервал xє(2;7].
Відповідь: (2;7] – А.
Приклад 9.6 Розв'язати нерівність (x+7)(x-3)<0.
Обчислення: Маємо квадратичну нерівність a•x^2+b•x+c<0, у якої коефіцієнт при "ікс в квадраті" додатний та рівний одиниці a=1>0.
Графіком функції y=(x+7)(x-3) є парабола, у якої гілки напрямлені вгору (оскільки a>0) і яка перетинає вісь Ox в точках, які є коренем рівняння (x+7)(x-3)=0.
Неважко перевірити, що коренями зведеного квадратного рівняння:
(x+7)(x-3)=0
є значення x1=-7 і x2=3.
Знак нерівності «менше нуля», тому розв'язки нерівності належатимуть інтервалу, в якому парабола знаходиться під віссю Ox:
тобто значення xє(-7;3).
Вище ми не наголошували, але декому з Вас слід згадати:
коли нерівність строга, то краї інтервалу обмежуємо круглими дужками "(", ")",
якщо нерівність нестрога то краї інтервалу обмежені квадратними дужками "[","]".
Відповідь: (-7;3) – Д.
Приклад 9.7 Розв'язати нерівність x^2+7x-30≥0.
Обчислення: Маємо квадратичну нерівність a•x^2+b•x+c≥0, у якої коефіцієнт при квадраті додатний a=1>0.
Графіком функції y= x^2+7x-30 є парабола, у якої гілки напрямлені вгору (a>0) і яка перетинає вісь Ox в точках, які є коренями квадратного рівняння x^2+7x-30=0.
За теоремою Вієта зведене квадратне рівняння має наступні два корені x1=-10 і x2=3.
Знак нерівності «більше (або дорівнює) нулю», тому розв'язки нерівності належатимуть інтервалу, в якому парабола знаходиться над віссю Ox:
тобто два інтервали x∈(-∞;-10]∪[3;+∞].
Відповідь: Б.
Приклад 9.8 Розв'язати нерівність –x^2+3x+10>0.
Обчислення: Маємо квадратичну нерівність a•x^2+b•x+c>0, у якої a=-1<0.
Графіком y=–x^2+3x+10 є парабола з опущеними вниз гілками (a<0).
Корені квадратного рівняння знаходимо через дискримінант:
Знак нерівності «більше нуля», тому розв'язки нерівності належатимуть інтервалу, в якому парабола знаходиться над віссю Ox: xє(-2;5).
ІІ – спосіб.
Помножимо задану нерівність –x^2+3x+10>0 на -1 (при цьому знак нерівності зміниться на протилежний, бо -1<0), отже x^2+3x+10<0.
Далі розв'язуємо отриману нерівність, як показано у прикладі 9.6, отже тобто xє(-2;5).
Відповідь: (-2;5) – Д.
Приклад 9.9 Розв'язати нерівність x^2>10.
Обчислення: Перенесемо десятку в ліву сторону та розпишемо x^2-10 за формулою різниці квадратів
Звідси легко бачити в яких точка парабола перетинає вісь Ох.
На рисунку маємо параболу y=x^2 та вертикальну пряму y=10
Розв'язком нерівності є два інтервали
На числовій осі розв'язок матиме вигляд
Відповідь: – Д.
Далі будуть наведені готові відповіді до важчих прикладів на раціональні нерівності.
