Дотична площина та нормаль до поверхні + Приклади

Нехай поверхню задано неявно рівнянням F(x,y,z)=0 і точка M(x0;y0;z0) належить поверхні.
Надемо рисунок дотичної площини та нормалі до поверхні

Як скласти рівняння дотичної площини та нормалі до поверхні?

Рівняння дотичної площини до поверхні у точці M(x0;y0;z0) має вигляд:
(1)
рівняння нормалі:
(2)

Якщо рівняння поверхні задано в явній формі z=f(x,y), то рівняння дотичної площини до поверхні
(3)
рівняння нормалі набувають відповідного вигляду:
(4)
Тому весь алгоритм зводиться до відшукання часткових похідних в точці, та підставленні в наведені формули.
Проаналізуємо хід дій для кількох різних завдань.

Приклад 1. Скласти рівняння дотичної та нормалі до поверхні
z=7-(x-2)²-(y-3)² у точці M(1;2).
Розв'язання: Бачимо, що третьої кординати не задано, тому спершу обчислюємо її з рівня поверхні
z0=7-(1-2)²-(2-3)²=5.
Знайдемо часткові похідні функції, що задає поверхню
z'x=-2(x-2), z'y=-2(y-3)
та їх значення в точці M(1;2;5)
z'x(M)=-2(1-2)=2;
z'y(M)=-2(2-3)=2.
За формулою (3) розписуємо рівняння дотичної площини в точці
z-5=2(x-1)+2(y-2);
z=5+2x-2+2y-4;
z=2x+2y-1.
Рівняння нормалі до поверхні знайдемо за формулою (4)

Щоб показати, як виглядає обчислена дотична площина та поверхня спробуємо їх зобразити в математичному пакеті Maple.
для цього потрібно кілька рядків коду
with(plots):
q1 := plot3d(7-(x-2)^2-(y-3)^2, x = -5 .. 5, y = -2 .. 4,color=yellow):
q2 := plot3d(-1+2*x+2*y, x = -3 .. 5, y = 0 .. 4,color=blue):
plots[display](q1, q2);
В результаті отримаємо рисунок, який зображено на початку статті.

Приклад 2. Скласти рівняння дотичної та нормалі до поверхні
z=3+x²-y² у точці A(1;2;0).
Розв'язання: Знайдемо часткові похідні першого порядку в точці

За формулою для поверхонь в явній формі (3) складаємо рівняння дотичної площини до поверхні z=3+x²-y² у точці (1;2;0)

Запишемо рівняння нормалі до поверхні z=3+x²-y² у точці

Ось і всі розрахунки, щоб знайти дотичну чи нормаль до поверхні.
Побудуємо поверхню та дотичну площину в мейпл
with(plots):
q1 := plot3d(3+x^2-y^2, x = -3 .. 4, y = -2 .. 4,color=blue):
q2 := plot3d(2*x-4*y+6, x = -3 .. 4, y = -2 .. 4,color=grey):
plots[display](q1, q2);

Приклад 3. Знайти рівняння нормалі та дотичної площини до поверхні
2x²+y²+z²-xyz-5=0 у точці (1;1;-1).
Розв'язання: Позначимо рівняння поверхні через
F(x;y;z)=2x²+y²+z²-xyz-5.
Обчислимо часткові похідні F в точці (1;1;-1)

Запишемо рівняння нормалі до поверхні у точці за формулою (2)

Складемо рівняння дотичної площини до поверхні 2x²+y²+z²-xyz-5=0 у точці

На цьому приклад розв'язано.

Часто на тестак чи підсумкових контрольних роботах студентам задають завдання на взаємне розміщення прямої і площини наступного змісту.

Приклад 4. Чи є перпендикулярними пряма (x-1)/2=y/1=(z+4)/3 і площина
x/6-y/12+z/4=1?
Розв'язання: Методика перевірки: уважно перегляньте рівняння дотичної площини
(1)
та рівняння нормалі
(2)
Зауважте де містяться часткові похідні в точці в обох рівняннях.
Звідси слідує: щоб площина була перпендикулярною до поверхні необхідно, щоб множники при (x-x0), (y-y0), (z-z0) в рівнянні площини були пропорційні до знаменників в рівнянні нормалі.
2=k*1/6, 1=k*(-1/12), 3=k*1/4, немає такого k.
А у нас вони не пропорційні (рівні), тому робимо висновок, що задана пряма і площина не перпендикулярні.

На практиці просто перевіряєте чи коефіцієнти в знаменниках рівняння прямої рівні відповідним коефіцієнтам з рівняння площини.
Якщо "так" то вони перпендикулярні, "ні" - інше взаємо розміщення.
Теореми про три перпендикуляри, чи про те, що будь яка пряма з дотичної площини є перпендикулярна до нормалі тут, нажаль, застосовувати не варто.
Для прикладу, до прямої (x-1)/2=y/1=(z+4)/3 будуть перпендикулярні площини виду
2(x-x0)+1(y-y0)+3(z-z0)+C=0,
де C - будь-яке дійсне число.

З уроку Ви побачили, що і тут потрібно добре вміти обчислювати похідні.
А вже скласти рівнянн дотичної площини чи нормалі до поверхні Ви з наведеними інструкціями, без проблем, зможете самостійно!