"Решить уравнение с модулями" или "Найти решения уравнения с модулем" – одни из самых популярных заданий в школьном курсе математики, у многих на первом курсе в ВУЗах при изучении модулей. Примеры легко сводятся к обычным уравнениям при знании правил - а они достаточно просты. При раскрытии модуля требуется найти точки в которых подмодульная функция принимает нулевое значение. Истинную ось разбить найденными точками на интервалы и установить знаки функции на каждом из них. Дальше раскрывают модули по правилу:
Если подмодульная функция положительная то модули раскрывают без изменений. Если отрицательная то раскрывая модуль функцию берут со знаком минус.
Все это напрямую следует из определения модуля числа:
После вычислений проверяют принадлежит найденное решение рассматриваемому интервалу или нет. Таким образом отсеивают лишние результаты.
Для наглядности перейдем к вычислениям .
Пример 1. Найти решение уравнения
Решение:
Этот пример является простейшим типом уравнений с модулями. В первую очередь уравнение содержит модуль один раз и переменная входит линейно.
Находим точку в которой выражение под знаком модуля обращается в нуль
Справа от этой точки выражение под модулем принимает положительное значение, слева - отрицательное.
Раскрывая модуль получим два уравнения с условиями на неизвестную
Находим решения уравнения
Такого типа уравнение с модулем можно решить графическим методом. В результате получим следующий вид функций
Пример 2. Найти решение уравнения
Решение: Решаем по схеме предыдущего примера.
Находим точки в которых модули превращаются в ноль.
Обе точки разделяют действительную ось на интервалы.
Обозначаем знаки подмодульных функций на найденных интервалах. Знаки устанавливаем простой подстановкой точек из интервала
Для удобства можете обозначать интервалы графически, некоторым это очень помогает, но можно обойтись только приведенными выше записями.
Раскрываем модули учитывая знаки и находим решения.
Последнее решение не имеет смысла, поскольку не принадлежит промежутку на котором его находим. Таким образом уравнения удовлетворяют значения
Графики модуль-функций приведены ниже, точки их пересечения и являются решением.
Пример 3.Найти решение уравнения
Решение: Находим точки, которые разбивают ось на области знакопостоянства
Определяем знаки подмодульных функций на этих областях
Раскрываем модули и вычисляем
Второе и третье значение не принадлежат области, следовательно уравнению отвечает только x=-4.
Ниже модули изображены графически
Пример 4. Найти решение уравнения
Решение: Есть квадратный трехчлен который сводится к решению двух уравнений
Решаем каждое из квадратных уравнений . Дискриминант у них будет одинаковый
Находим корни первого уравнения
и второго
Обозначенные корни уравнения не относятся области на которой искали решение. Окончательно получим
На графике модуль-функции решение является пересечением с осью Ox
Пример 5. Решить модульное уравнения
Решение:Точка x=-4 делит область на интервалы
На первом интервале получим квадратное уравнение
на втором соответственно следующее
Вычисляем дискриминант первого
и корни
Второе уравнение будет иметь решения
Два корня отпадают, а два являются решениями
График функции с модулем вместе с точками пересечения иллюстрирует следующий рисунок
Пример 6. Решить модульное уравнения
Решение:Схема решения предыдущая . Находим нули
Делим область на пять интервалов в которых находим знаки функций
Раскроем модули для первой и пятой областей
Данные точки принадлежат краю области, однако при подстановке уравнение превращается в тождество.
Второй интервал
превращается в тождество, следовательно все точки интервала включая краями являются решениями.
Третий интервал
дает два корня , которые удовлетворяют исходное уравнение с модулями.
На четвертом интервале уравнение превратится в тождество,
это означает, что все точки из интервала являются решениями .
Таким образом , решением будут два промежутка
Для наглядности графики модуля вместе с правой частью изображены графически
Пример 7. Найти решение уравнения
Решение:Имеем квадратное уравнение под модулем, кроме того переменная в нем также содержится под модулем. Такого рода задачи вызывают немало трудностей при решении у начинающих, но для профи такие примеры не сложные . В первую очередь избавляемся модуля у переменной.
Такого рода примеры приводят к большому количеству областей, поэтому можно решать применяя разбиение на промежутки, а можно решать самые уравнения, а после того проверять решения подстановкой.
Оба уравнения при раскрытии модулей дают следующие
Находим корни первого уравнения
Решаем второе квадратное уравнение
С третьего уравнения
получаем два решения.
Из последнего - 4 уравнения
получаем два корня . Всего получили 8 решений уравнения с модулями. Проверка подстановкой показывает что они все подходят. Также для подтверждения ниже приведен график фигурирующих модулей.
Все рассмотренные примеры достаточно просто решаются в математическом пакете Maple. Код программы с решениями приведен ниже
> restart;
> Q1:=abs(5*x-10)=11;
> solve(Q1,x);
> Q2:=abs(1-5*x)=abs(2-x);
> solve(Q2,x);
> Q3:=abs(x+3)-abs(x-5)=3*x+4;
> solve(Q3,x);
> Q4:=x^2-5*abs(x)-24=0;
> solve(Q4,x);
> Q5:=x^2-4*abs(x+4)=28;
> solve(Q5,x);
> Q6:=abs(x^2-9)+abs(x^2-16)=7;
> solve(Q6,x);
> Q7:=abs(x^2-6*abs(x)+4)=1;
> solve(Q7,x);
Уравнение с модулями требуют большого внимания при решении. Самая меньшая невнимательность или ошибка со знаком может привести к лишним решениям или их нехватке. При вычислениях можете выполнять проверку методом подстановки или с помощью Maple или других известных Вам программ.
Похожие материалы:
