Закони Кірхгофа. Методи контурних струмів та вузлових потенціалів. Електричне коло

Метод рівнянь Кірхгофа

 Метод контурних струмів та метод вузлових потенціалів широко популярні при знаходженні опорів чи струмів в електричних колах. Алгоритми розрахунків всюди описані, проте не кожен студент їх розуміє та мало живих прикладів можна знайти в інтернеті. Суть методів полягає в вираженні струмів через напруги або навпаки, складанні рівнянь КІРХГОФА, а далі перевірки, чи все правильно розраховано. 

Перший закон Кірхгофа: В кожному вузлі алгебраїчна сума струмів дорівнює нулю. При цьому струми, які входять в розгалуження й виходять із нього вважаються величинами різних знаків. Формула першого закону Кірхгофа має вигляд

Другий закон Кірхгофа: Для будь-якого замкнутого контура сума електрорушійних сил дорівнює сумі добутків сил струму на кожній ділянці контура на опір ділянки, враховуючи внутрішній опір джерел струму. Математично друге правило Кірхгофа записується формулою:

Баланс потужностей: Потужності , які генеруються джерелами енергії повинні повністью споживатися навантаженнями (резисторами).
Фізично це означає, що в електричному колі виконується баланс потужностей:
Рдж=Рсп.
Це наслідок закону збереження енергії.

Закони на вигляд достатньо прості якщо знати базові поняття, без яких розуміння електричних кіл неможливі.
Наведемо основні складові електричних кіл, щоб при подальшому поясненні Ви завжди могли вернутися до наведених далі підказок.
Електричним колом називають замкнутий контур, який складається з джерела струму, споживачів енергії та з'єднувальних проводів, через які проходить електричний струм. 
Електромагнітні процеси, які відбуваються в електричних колах, можна описати за допомогою електричних величин — електрорушійної сили, струму й напруги.
Електричне коло — множина сполучених між собою провідниками , джерел струму й напруги, конденсаторів, перемикачів, котушок індуктивності і ін., через яку може проходити електричний струм.

До елементів електричних кіл належать:

  1. Вузол - точка в якій сходиться хоча б три струми.
  2. Вітка - частина кола по якій протікає один струм між двома суміжними вузлами.
  3. Контур - будь-який замкнений шлях, що проходить по кількох вітках.
  4. Незалежний контур - відрізняється від інших (раніше обраних) хоч би однією віткою.

Задача 1 Розрахункова-графічна робота з дисципліни «Електротехніка, електроніка».

  1. Розрахуйте напруги на всіх компонентах кола та струми через них методом контурних струмів.
    Для цього:
    1. Перемалюйте задану схему.
    2. Позначте умовні додатні напрямки всіх напруг і струмів, оберіть напрямки контурних струмів.
    3. Складіть матричне рівняння для контурних струмів і розв’яжіть його, тобто розрахуйте контурні струми.
    4. За значеннями контурних струмів розрахуйте значення струмів у всіх гілках.
    5. За законом Ома розрахуйте напруги на всіх компонентах кола.
    6. Нанесіть отримані значення струмів і напруг на схему кола, враховуючи умовні додатні напрямки.
  1. Розрахуйте напруги на всіх компонентах кола та струми через них методом вузлових потенціалів.
    Для цього:
    1. Перемалюйте задану схему.
    2. Заземліть один з вузлів кола.
    3. Складіть матричне рівняння для вузлових потенціалів і розв’яжіть його, тобто розрахуйте потенціали всіх вузлів.
    4. За значенням вузлових потенціалів розрахуйте значення напруг на усіх гілках.
    5. За законом Ома розрахуйте струми через всі компоненти кола.
    6. Нанесіть отримані значення струмів і напруг на схему кола, враховуючи умовні додатні напрямки.
      Порівняйте із результатами, отриманими в п. 1 – вони повинні збігатись.
  1. Розрахуйте потужності, які споживає кожний резистор, а також потужності, які виділяє кожне джерело енергії.
    Порівняйте суму виділеної і спожитої потужності.

Дано:
R1=4 Ом,
R2=7 Ом,
R3=10 Ом,
R4=12 Ом,
R5=20 Ом,
R6=5,5 Ом,

E2=20 В,
E3=10 В.

 

Електрична схема

1 Спосіб: Метод контурних струмів

Алгоритм розв’язання електричного кола  методом контурних струмів.
1. Спершу з'ясувати кількість незалежних контурів. Скласти рівняння за методом контурних струмів. Кількість рівнянь, які складені методом контурних струмів повинна дорівнювати кількості незалежних контурів. Бажано напрями контурних струмів задавати однаково (наприклад, за годинниковою стрілкою).
Запам'ятайте!Струми контурів із джерелами струмів вважаються відомими і для них рівняння не складається (зайва інформація).
2. Визначити власні та взаємні опори контурів і контурні ЕРС. 
3. Будь-яким відомим Вам методом розв’язати систему рівнянь і знайти контурні струми.
4. За знайденими контурними струмами визначити струми у вітках схеми.
На практиці алгоритм працює так:

Метод контурних струмів

У колі три незалежних контури. За методом контурних струмів потрібно скласти три рівняння:
, або
.
Запишемо власні контурні опори:
R11=R1+R2+R6=4+7+5,5 Ом;
R22=R2+R4+R5=7+12+20 =39 Ом;
R33=R3+R4+R6=10+12+5,5=27,5 Ом.
Взаємні контурні опори при однакових напрямках контурних струмів - від'ємні:
R12=R21=-R2=-7 Ом;
R13=R31=-R6=-5,5 Ом;
R23=R32=-R4=-12 Ом.
Запишемо значення контурних ЕРС:
E11=E2=20 В;
E22=E2=-20 В;
(напрямок E2 не співпадає з напрямком I22)
E33=E3=10 В.
Підставимо отримані значення у початкову систему рівнянь:
,
або у матричному вигляді:
.
Розв'яжемо цю систему рівнянь і знайдемо контурні струми.



Обчислимо значення струмів у гілках заданої системи:
I1=I11=1,38 A;
I2=I11-I22=1,38-(-0,08)=1,46 А;
I3=I33=0,61 A;
I4=I33-I22=0,61-(-0,08)=0,69 А;
I5=I22=-0,08 А;
I6=I11-I33=1,38-0,61=0,77 А.

         Обчислимо значення напруг на всіх компонентах кола (за законом Ома):
U1=I1·R1=1,38·4=5,52 В;
U2=I2·R2=1,46·7=10,22 В;
U3=I3·R3=0,61·10=6,1 В;
U4=I4·R4=0,69·12=8,28 В;
U5=I5·R5=-0,08·20=-1,6 В;
U6=I6·R6=0,77·5,5=4,235 В.

 

 

Метод вузлових потенціалів
Метод вузлових потенціалів

У колі чотири вузли. Заземлений вузол с, тобто вважаємо його потенціал  рівним нулю .
Задаємось напрямками струмів у гілках, як показано на рисунку. Записуємо І закон Кірхгофа для вузлів a,b і d:

Визначимо струми у гілках за законом Ома:
закон Ома
тут
   - провідності відповідних гілок.
Підставимо отримані вирази у початкову систему рівнянь, відкриємо дужки і зведемо подібні доданки:
,  
після спрощень
.
Розв'яжемо останню систему рівнянь методом Крамера.
   

         Обчислимо значення напруг на всіх компонентах кола:
обчислення напруги
Обчислимо значення струмів у гілках заданої системи (за законом Ома):
знаходження струмів
Як видно з розрахунків, значення сил струмів та напругна кожному резисторі співпадають.

Обчислимо потужності, який споживає кожний резистор:
P1=U1·I1=5,52·1,38=7,62 Вт;
P2=U2·I2=10,22·1,46=14,92 Вт;
P3=U3·I3=6,1·0,61=3,72 Вт;
P4=U4·I4=8,16·0,69=5,63 Вт;
P5=U5·I5=-1,6·(-0,08)=0,128 Вт;
P6=U6·I6=4,26·0,77=3,28 Вт;

Обчислимо потужності, яку виділяє кожне джерело енергії:
потужність
Складемо баланс потужності заданого електричного кола та перевіримо правильність розрахунків:
, отже


що свідчить про правильність розрахунків.


Ви тут:
Закони Кірхгофа. Методи контурних струмів та вузлових потенціалів. Електричне коло