Логарифмические уравнения. 10-11 класс

Стоит напомнить всем, что логарифмическими называют уравнения, в которых переменная или функция от "икс" находится под знаком логарифма.
При равносильных преобразованиях справедливая формула перехода от логарифмического до простого уравнения
log_af(x)=c⇔f(x)=a^c.
ОДЗ: основание логарифма должно быть больше нуля и не равняться единице,
функция – положительной
{x>0, x≠1, f(x)>0}.
Важно знать частные случаи простейших логарифмических уравнений:
правая сторjна равна нулю (с=0) или единицы (с=1):
логарифм основания равен единице
c=1⇔log_aa=1⇔f(x)=a.
логарифм единицы равен нулю
c=1⇔log_a1=0⇔f(x)=1.
Эти формулы Вы должны знать на память, поскольку их чаще всего применяют при сведении логарифмов до простейшего типа.
С целью научить Вас раскрывать логарифмические уравнения, а также подготовить к ВНО тестированию нами решены 40 примеров, которые в полной мере охватывают все известные методы решения логарифмических уравнений, которые Вас учат в 10-11 классе школьной программы, и дальше на первых курсах в ВУЗ-ах.

Схема вычисления логарифмических уравнений

1. если возможно, выписать область допустимых значений логарифмов и функций, которые в него входят.
2. свести уравнение к простейшему типу путем элементарных преобразований, которые заключаются в вынесении степени из основания логарифма (или наоборот), логарифмированию и потенцированию (возведение в степень по основанию (экспонента, основы =10, 2, π)
3. в случаях сложных уравнений вводят замену переменных и сводят к квадратным или другим известным уравнениям.

Вычисление уравнений с логарифмом

Пример 16.1 Решить уравнение log_ax=c.

Решение: Имеем простейшее логарифмическое уравнение, которое решается методом сведения к одному основанию логарифмов:
log_ax=c
(здесь a>0, a≠1),
log_ax=c•1,
log_ax=c•log_aa,
log_ax= log_aa^c
Здесь использовали свойства логарифма, единицу расписали как логарифм основания, после чего множитель c внесли под логарифм.
Далее опустили основы и приравняли выражения в логарифмах:
x=a^c.
ОДЗ: x>0.
Ответ: a^c – Г.

Пример 16.2 Решить уравнение log_1/2(x)=-4.

Решение: ОДЗ функции под логарифмом: x>0.
Сводим уравнение к одному основанию логарифмов

При равных основах приравниваем выражения под логарифмами:
x=(1/2)^-4,
x=2⁴,
x=16.
Ответ: 16 – Д.

Пример 16.3 Решить уравнение log₂(-x)=5.

Решение: Выполняем раскрытия логарифмов по данной в начале инструкции:
ОДЗ – -x>0,x<0.
Упростим уравнения
log₂(-x)=5
log₂(-x)=5•1
log₂(-x)=5• log₂2
log₂(-x)= log₂2⁵
опустим основы и приравняем логарифмические выражения:
-x=2⁵,
-x=32,
x=-32.
Ответ: -32 – У.

Пример 16.4 Решить уравнение lg(x²-x)=1-lg(5).

Решение: ОДЗ: x²-x>0,
x(x-1)>0
Решим неравенство методом интервалов
x(x-1)=0,
x₁=0,
x₂=1.

x∈(-∞;1)∪(1;+∞).
На этом множестве значений и ищем решение уравнения, сперва сведя к одной основе логарифмы

по теореме Виета:
x₁+x₂=1,
x₁•x₂=-2.
x₁=-1,
x₂=2.
Оба корня принадлежат ОДЗ.
Ответ: -1; 2 – Д.

ОДЗ неравенства могут быть сложнее, чем сами уравнения, тогда достаточно сами корни уравнения подставить в неравенство (или систему неравенств) и определить, принадлежат ли корни области допустимых значений логарифмческого уравнения.

Пример 16.5 Сколько корней имеет уравнение lg(x⁴-10x²)=lg₃x³?

Решение: В логарифме имеем биквадратное выражение, которое при условиях на ОДЗ требует вычислений.
Поэтому пойдем другим путем, сначала решим уравнение с логарифмом, а в конце проверим удовлетворяют ли найденные "иксы" ОДЗ:

по теореме Виета:
x₂+x₃=3
x₂•x₃=-10.
x₂=-2
x₃=5.
Проверим найденные значения 0; -2; 5 являются решениями.
Выписываем ОДЗ и подставляем "иксы":

1) 0=0, поэтому x₁=0 не принадлежит ОДЗ;

2) (-2)⁴-10•(-2)=16-40=-24<0
x₂=-2 не принадлежит ОДЗ.

3) 5^4-10•5^2=625-250=375>0,
x₃=5 удовлетворяет ОДЗ.
Логарифмическое уравнение lg(x^4-10x^2)=lg₃x³ имеет один корень.
Ответ: один – Б.

Пример 16.6 Решить уравнение log₆(x-2)+log₆(x-1)=1 и указать промежуток, которому принадлежит его корень.

Решение: Выпишем систему неровностей для ОДЗ:

По правилу, что сумма логарифмов чисел равна логарифму их произведения ln(a)+ln(b)=ln(a•b) и свойству log₆6=1, сведем логарифмы к общему основанию:

При преобразованиях получили квадратное уравнение, корни которого находим по теореме Виета:
x₁+x₂=3
x₁•x₂=-4.
x₁=-1<2 (не принадлежит ОДЗ)
x₂=4.
x=4 – единственный корень заданного уравнения, он принадлежит промежутку (3,9;4,1).
Ответ: (3,9;4,1) – Б.

Пример 16.9 Решить уравнение (log₂x)²-2log₂x-3=0 и указать сумму его корней.

Решение: ОДЗ: x>0.
логарифмическое уравнение
(log₂x)²-2log₂x-3=0
сведем к квадратному заменой log₂x=t.
t²-2•t-3=0
По формулам Виета имеем:
t₁+t₂=2 – сумма корней уравнения;
t₁•t₂=3 – их произведение, тогда
t₁=-1 и t₂=3 – корни квадратного уравнения.
Возвращаемся к замене, и вычисляем простые логарифмические уравнения

Оба корня принадлежат ОДЗ, по условию найдем их сумму:
x₁+x₂=0,5+8=8,5.
Ответ: 8,5 – Д.

С простых примеров на раскрытие логарифмических уравнений Вы увидели, что достаточно знать несколько формул и базовые свойства логарифма и уже можно самостоятельно решать уравнения. Для простых условий это работает, но напоминаем, что курс ВНО подготовки содержит 40 примеров, причем ряд задач сочетают в себе не только логарифмы, но и корни, модули, показательные выражения. Вы научитесь сводить уравнения к квадратным, логарифмировать и еще много чего нового.