Стоит напомнить всем, что логарифмическими называют уравнения, в которых переменная или функция от "икс" находится под знаком логарифма.
При равносильных преобразованиях справедливая формула перехода от логарифмического до простого уравнения
logaf(x)=c⇔f(x)=ac.
ОДЗ: основание логарифма должно быть больше нуля и не равняться единице,
функция положительной
{x>0, x≠1, f(x)>0}.
Важно знать частные случаи простейших логарифмических уравнений:
правая сторjна равна нулю (с=0) или единицы (с=1):
логарифм основания равен единице
c=1⇔logaa=1⇔f(x)=a.
логарифм единицы равен нулю
c=1⇔loga1=0⇔f(x)=1.
Эти формулы Вы должны знать на память, поскольку их чаще всего применяют при сведении логарифмов до простейшего типа.
С целью научить Вас раскрывать логарифмические уравнения, а также подготовить к ВНО тестированию нами решены 40 примеров, которые в полной мере охватывают все известные методы решения логарифмических уравнений, которые Вас учат в 10-11 классе школьной программы, и дальше на первых курсах в ВУЗ-ах.

Схема вычисления логарифмических уравнений

  1. если возможно, выписать область допустимых значений логарифмов и функций, которые в него входят.
  2. свести уравнение к простейшему типу путем элементарных преобразований, которые заключаются в вынесении степени из основания логарифма (или наоборот), логарифмированию и потенцированию (возведение в степень по основанию (экспонента, основы =10, 2, π)
  3. в случаях сложных уравнений вводят замену переменных и сводят к квадратным или другим известным уравнениям.

Вычисление уравнений с логарифмом

Пример 16.1 Решить уравнение logax=c.

А

Б

В

Г

Д

ø

a•c

ca

ac

c/a

Решение: Имеем простейшее логарифмическое уравнение, которое решается методом сведения к одному основанию логарифмов:
logax=c
(здесь a>0, a≠1),
logax=c•1,
logax=c•logaa,
logax= logaac

Здесь использовали свойства логарифма, единицу расписали как логарифм основания, после чего множитель c внесли под логарифм.
Далее опустили основы и приравняли выражения в логарифмах:
x=ac.
ОДЗ: x>0.
Ответ: ac – Г.

 

Пример 16.2 Решить уравнение log1/2(x)=-4.

А

Б

В

Г

Д

ø

-16

1/16

1/16; 16

16

Решение: ОДЗ функции под логарифмом: x>0.
Сводим уравнение к одному основанию логарифмов
простое логарифмическое уравнение
При равных основах приравниваем выражения под логарифмами:
x=(1/2)-4,
x=24,
x=16.

Ответ: 16 – Д.

 

Пример 16.3 Решить уравнение log2(-x)=5.

А

Б

В

Г

Д

ø

32

-32

1/32

-1/32

Решение: Выполняем раскрытия логарифмов по данной в начале инструкции:
ОДЗ – -x>0,x<0.
Упростим уравнения
log2(-x)=5
log2(-x)=5•1
log2(-x)=5• log22
log2(-x)= log225

опустим основы и приравняем логарифмические выражения:
-x=25,
-x=32,
x=-32.

Ответ: -32 – У.

 

Пример 16.4 Решить уравнение lg(x2-x)=1-lg(5).

А

Б

В

Г

Д

ø

-3; 2

-2; 1

-2; 3

-1; 2

Решение: ОДЗ: x2-x>0,
x(x-1)>0
Решим неравенство методом интервалов
x(x-1)=0,
x1=0,
x2=1.
метод интервалов
x∈(-∞;1)∪(1;+∞).

На этом множестве значений и ищем решение уравнения, сперва сведя к одной основе логарифмы
уравнение с логарифмом
по теореме Виета:
x1+x2=1,
x1•x2=-2.
x1=-1,
x2=2.

Оба корня принадлежат ОДЗ.
Ответ: -1; 2 – Д.

ОДЗ неравенства могут быть сложнее, чем сами уравнения, тогда достаточно сами корни уравнения подставить в неравенство (или систему неравенств) и определить, принадлежат ли корни области допустимых значений логарифмческого уравнения.

Пример 16.5 Сколько корней имеет уравнение lg(x4-10x2)=lg3x3?

А

Б

В

Г

Д

Ни одного

один

два

три

четыре

Решение: В логарифме имеем биквадратное выражение, которое при условиях на ОДЗ требует вычислений.
Поэтому пойдем другим путем, сначала решим уравнение с логарифмом, а в конце проверим удовлетворяют ли найденные "иксы" ОДЗ:
раскрытия логарифмов
по теореме Виета:
x2+x3=3
x2•x3=-10.
x2=-2
x3=5.
Проверим найденные значения 0; -2; 5 являются решениями.
Выписываем ОДЗ и подставляем "иксы":

1) 0=0, поэтому x1=0 не принадлежит ОДЗ;

2) (-2)4-10•(-2)=16-40=-24<0
x2=-2 не принадлежит ОДЗ.

3) 5^4-10•5^2=625-250=375>0,
x3=5 удовлетворяет ОДЗ.
Логарифмическое уравнение lg(x^4-10x^2)=lg3x3 имеет один корень.
Ответ: один – Б.

 

Пример 16.6 Решить уравнение log6(x-2)+log6(x-1)=1 и указать промежуток, которому принадлежит его корень.

Решение: Выпишем систему неровностей для ОДЗ:

По правилу, что сумма логарифмов чисел равна логарифму их произведения ln(a)+ln(b)=ln(a•b) и свойству log66=1, сведем логарифмы к общему основанию:

При преобразованиях получили квадратное уравнение, корни которого находим по теореме Виета:
x1+x2=3
x1•x2=-4.
x1=-1<2
(не принадлежит ОДЗ)
x2=4.
x=4 – единственный корень заданного уравнения, он принадлежит промежутку (3,9;4,1).
Ответ: (3,9;4,1) – Б.

 

Пример 16.9 Решить уравнение (log2x)2-2log2x-3=0 и указать сумму его корней.

Решение: ОДЗ: x>0.
логарифмическое уравнение
(log2x)2-2log2x-3=0
сведем к квадратному заменой log2x=t.
t2-2•t-3=0
По формулам Виета имеем:
t1+t2=2 – сумма корней уравнения;
t1•t2=3 – их произведение, тогда
t1=-1 и t2=3 – корни квадратного уравнения.
Возвращаемся к замене, и вычисляем простые логарифмические уравнения
простые логарифмические уравнения
Оба корня принадлежат ОДЗ, по условию найдем их сумму:
x1+x2=0,5+8=8,5.
Ответ: 8,5 – Д.

С простых примеров на раскрытие логарифмических уравнений Вы увидели, что достаточно знать несколько формул и базовые свойства логарифма и уже можно самостоятельно решать уравнения. Для простых условий это работает, но напоминаем, что курс ВНО подготовки содержит 40 примеров, причем ряд задач сочетают в себе не только логарифмы, но и корни, модули, показательные выражения. Вы научитесь сводить уравнения к квадратным, логарифмировать и еще много чего нового.