Примеры на интегрирование функций по частям, а также интегралы от квадратных трехчленов взято из материалов контрольной работы, которую задают студентам 1, 2 курсов с математических дисциплин. Для экономии Вашего времени сами условия заданий пропущенные, везде нужно или "Найти неопределенный интеграл" или "Вычислить интеграл". Текста в комментариях к каждому заданию немного, но этого достаточно для усвоения материала и изучение методики и схем интегрирования.
Интегрирование по частям
Пример 8. Здесь необходимо интегрировать частями. Кто не знает как интегрировать по частях то сначала ознакомьтесь с этой статьей. За dv удобно выбрать экспоненту умноженную на dx. Вычисляем v, du и применяем интегрирование по частям
Ко второму интегралу повторно применяем правило интегрирования по частям
Если бы имели переменную в 3-й степени то интегрировали бы частями трижды и так далее. Другого метода вычислить такого сорта интегралы математики еще не придумали.
Пример 9. В этом интеграле за dv можем обозначать как экспоненту так и синус, поскольку его вторая производная тоже даст синус (со знаком минус). В каждом из случаев придем к рекуррентной формуле с которой и найдем интеграл
Пришли к рекуррентной формуле, когда справа и слева от знака равенства имеем искомый интеграл
Группируем слагаемые и делим правую сторону на коэффициент при интеграле
Пример 10. Несмотря на короткую запись, интеграл от арксинуса двойного «икс» нужно находить интегрированием по частям. Функции u, dv выбираем согласно представленным формулам
Последние две строки можно расписать переходом к новой переменной, а затем ее подстановки в интеграл, однако и такая запись будет правильным ответом для Вас.
Пример 11. Находим интеграл частями, для этого прямо применяем метод. Здесь в скобках выполняем упрощение в вычислениях дифференциала du
Для применения формулы интегрирования вносим переменную под дифференциал чтобы получить такой же выражение как под корнем
Постепенно Вы запомните что внесение под дифференциал позволяет опускать замены переменных и сразу переходить к готовым формул на интегралы. Теперь Вы знаете как интегрировать частями, другие примеры приведены в конце статьи.
Интегралы, содержащие квадратные трехчлена
Пример 12. Имеем квадратный трехчлен в знаменателе дроби. Для сведения к табличному интегралу следует его свести к разнице или сумме квадратов. В этом задании получим арктангенс
Для легкости чтения формул важные моменты выделены цветом. Поверьте что это помогает быстрее запомнить то, что на первый взгляд выглядит для одних понятным, а другим и после второго и третьего пересмотра тяжелым.
Пример 13. Несмотря на то, что квадратный трехчлен в знаменателе находится под корнем схема возведения к табличному интегралу подобная предыдущему примеру. Разница лишь в том что здесь получим логарифм, а не арктангенс. Важные моменты преобразований записано формулами
Задания вида 12, 13 на контрольных и тестах встречаются часто, поэтому хорошо их изучите.
Пример 14. В этом интеграле замена переменных несколько специфическая и вряд ли Вы ее запомните, однако без нее интеграл не найти. Поэтому внимательно рассмотрите, как преображается функция под интегралом при такой замене переменных
Под корнем в знаменателе выделяем разность квадратов. Поскольку перед скобками, которые содержат переменную стоит отрицательный знак то при интегрировании получим арксинус
Остальные ответы в следующих материалах. Помните что такого рода примеры задают на контрольных или тестах и внимательно разбирайте ответы к интегралам.
Готовые решения контрольной по интегрированию
