Двойной интеграл в полярных координатах

Алгоритм вычисления двойных интегралов при переходе к полярным координатам детально приведен как в настоящей статье, так и предыдущих публикациях с теорией. Для перехода к полярным координатам нужно найти якобиан, который несколько раз здесь повторим. Дальше сами уравнения кривых, которые ограничивают область интегрирования следует также перевести в полярные координаты. В теории все хорошо описано и выглядит понятным, однако на практике во многих студентов возникают трудности и немало вопросов, поэтому внимательно пересмотрите приведенные дальше решения.

Пример 2.1 Вычислить двойной интеграл, используя полярные координаты:

Решение: Построим область интегрирования ограниченную кривыми
-3≤x≤3
Эти кривые записываем из пределов интегрирования, внимательно пересмотрите в каких пределах изменяются "икс" и "игрек".
Нижний предел по оси "игреков" приведем к каноническому виду

x²+y²=9.
Получили уравнение круга с центром в точке O(0;0) и радиусом 3 (нижняя половина).

Перейдем к полярной системе координат с помощью превращения координат:

найдем якобиан перехода:

Найдем подынтегральную функцию в полярных координатах:

Внимательно пересмотрите формулы двойного синуса, косинуса и им подобных.
Они достаточно часто встречаются при упрощении подынтегральных функций, все сделано умышленно для того, чтобы Вы без проблем могли интегрировать.
Запишем пределы интегрирования в полярной системе координат:
0≤r≤3, π≤φ≤2 π.
Вычислим двойной интеграл:

Поскольку переменные разделены, то интегрирование не тяжелое, достаточно воспользоваться табличными интегралами и подставить пределы.

Пример 2.2 Найти двойной интеграл, используя полярные координаты:

Решение: Из интеграла выписываем область интегрирования
0≤x≤1
Она ограничена прямыми, которые совпадают с-осями координат  
, y²=12-x²,x²+y²=1² - дуга круга в I четверти.

Получили круг с центром в точке O(0;0) и радиусом r=1 (верхняя половина).
Якобиан перехода к ПСК I=r.
Запишем подынтегральную функцию в полярной системе координат:

Для круговых областей не трудно записать пределы интегрирования при переходе к полярной системе координат:
0≤r≤1, 0≤φ≤π/2.
Находим двойной интеграл:

В результате интегрирования в ответе получили выражение которое содержит логарифм двойки, и число Пи.

Пример 2.3 Вычислить значение двойного интеграла, перейдя к полярным координатам:

Решение: Выпишем область интегрирования, которая ограничена кривыми
- 2≤x≤2,
По "игреку" имеем ограничения ветками круга , y²=4-x², x²+y²=2² с центром в начале координат O(0;0) и радиусом 2.

Перейдем к полярной системе координат:
якобиан переходу: I=r.
С учетом формул перехода подынтегральная функция в полярной системе координат примет вид корневой зависимости:

Пределы интегрирования в ПСК следующие:
0≤r≤2, 0≤φ≤2π.
Переходим от двойного интеграла в декартовых координатах к двойному в полярных координатах и находим его значение:

Интеграл равен 16π/3.

Пример 2.4 Найти двойной интеграл, используя полярные координаты:

D: {x²+y²=π²/9; x²+y²=π²/4}.
Решение: Выпишем область интегрирования ограниченную кривыми
Первая кривая x²+y²=π²/9 - круг с центром в начале координат O(0;0) и радиусом π/3;
второе уравнение описывает x²+y²=π²/4 - больший круг с центром в той же точке O(0;0) и радиусом π/2.
Область между кругами образует кольцо, по которому выполняем интегрирование.

Найдем подынтегральную функцию в полярной СК:

Круги в полярной системе координат можно задать радиусами и центрами:
, отсюда r= π/3;
, имеем r= π/2.
Пределы интегрирования в полярной системе координат следующие:
π/3≤r≤π/2, 0≤φ≤2π.
Выполняем вычисление двойного интеграла:

Переход к полярной СК значительно упрощает вычисление интегралов для круговых и кольцевых областей.

Пример 2.5 Найти двойной интеграл, используя полярные координаты:

D: {x²+y²- 2y=0; x²+y²- 4y=0}.
Решение: На основе предыдущих примеров делаем вывод, что область интегрирования, ограниченная x²+(y-1)²=1 - кругом с центром в точке O(0;1) и радиусом 1;
Вторая кривая x²+(y-2)²=2- круг с центром в точке O(0;2) и радиусом 2.
Графически они формируют следующую область интегрирования.

Переходим к полярной системе координат с помощью якобиана перехода I=r.
Дальше записываем кривые в полярной системе координат:


расставляем корректные пределы интегрирования:
2sin(φ)≤r≤4sin(φ), 0≤φ≤2π.
Вычисляем двойной интеграл в полярной СК:

Нахождение двойных интегралов не тяжелое занятие, если часто самостоятельно практиковать и иметь перед собой таблицу основных интегралов.
Все остальные манипуляции не тяжелые и их Вы повсюду в математике выполняете.
Дальше рассмотрим еще несколько примеров на вычисление двойных интегралов в полярных координатах.