Длина дуги кривой в полярных координатах

Если кривая задана уравнением в полярной системе координат, где функция является гладкой непрерывной на промежутке , тогда длина дуги кривой равняется определенному интегралу, рассчитанному по формуле

В формуле длины дуги в полярных координатах под интегралом имеем корневую функцию от суммы квадратов радиуса и его производной. Вычисления в определенной мере дружат с предыдущими публикациями, из них Вы уже знаете как вычислить длину дуг, которые заданы в декартовой системе координат и параметрически.
Примеры подобрано из программы практикума для студентов мех-мата Львовского национального университета имени Ивана Франко.
Первый номер в примерах отвечает номеру основного задания из сборника М. В. Заболоцький и др. "Практикум из математического анализа" (рядом стоит номер из сборника Б. П. Демидовича ).

Для изучения основных моментов схема интегрирования и формулы вычисления дуги кривой, заданной в параметрической форме повторяются из примера в пример. Часть заданий обязательно проиллюстрируем графиками кривых.

Как найти длину дуги кривой, заданной в полярных координатах?

Пример 2.132 (2446) Найти длину дуги кривой (спираль Архимеда) .
Вычисление: Найдем производную по переменной заданной функции: r'=a
Пределы интегрирования известны за условием: [0;2pi].
Запишем подынтегральную функцию:

Вычислим длину дуги полярной кривой на заданном отрезке:

Пример 2.133 (2447) Найти длину дуги кривой (), .
Вычисление: Найдем производную по переменной заданной функции:
Запишем пределы интегрирования:
при , при , поэтому
(получим несвойственный интеграл I рода, который совпадающий).
Запишем подынтегральную функцию:

Вычислим длину дуги кривой на заданном отрезке:

Пример 2.134 (2448) Найти длину дуги кривой (кардиоида) (Смотри 2.107).
Вычисление: Найдем производную по переменной заданной функции:

Пределы интегрирования: [0;Pi].
(найдем длину половины кривой и умножим на 2).
Запишем подынтегральную функцию:

Вычислим длину дуги кривой на заданном отрезке:

Пример 2.135 (2450) Найти длину дуги кривой .
Вычисление: Найдем производную по переменной заданной функции:

Пределы интегрирования: [0;3Pi], поскольку задана кривая замкнутая в этих пределах.
Выпишем подынтегральную функцию:

Интегрированием вычислим длину дуги кривой на заданном отрезке:

Пример 2.136 (2449) Найти длину дуги кривой (парабола)
Вычисление: Найдем производную по "фи" заданной функции:

Пределы интегрирования известны из начального условия:
для параболы
Выпишем подынтегральную функцию:

Вычислим длину дуги кривой на заданном отрезке:

* Метод Остроградського :

Возьмем производную от каждой части равенства (из каждого слагаемого), где

приравниваем коэффициенты при каждой переменной из двух частей равенства:

Получаем
(см. выше).

Пример 2.137 (2452.1) Найти длину дуги кривой ,
Вычисление: Найдем производную по переменной заданной функции:

Пределы интегрирования известны: rє[0;5].
Выпишем подынтегральную функцию:

Вычислим длину дуги кривой на заданном отрезке:

Пример 2.138 (2452) Найти длину дуги кривой ,
Вычисление: Найдем производную по переменной заданной функции:

Пределы интегрирования равны: [1;3].
Выпишем подынтегральную функцию:

Вычислим длину дуги кривой на заданном отрезке:

Пример 2451 Найти длину дуги кривой ,
Вычисление: Найдем производную по переменной заданной функции:

Пределы интегрирования известны за условием: [0;2pi].
Запишем подынтегральную функцию:

Вычислим длину дуги кривой на заданном отрезке:

Пример 2452.2 Найти длину дуги кривой

Вычисление: Найдем производную по переменной "r" заданной функции:

Пределы интегрирования равны: [0;R].
Запишем подынтегральную функцию: