Продовжуємо аналізувати готові приклади на призми і сьогодні пригадаємо все, що потрібно знати про паралелепіпеди. Означення, що таке паралелепіпед і його основні властивості тут давати не будемо. Це ви повинні знати із шкільних матеріалів, тут лише наведемо потрібні залежності для паралелепіпедів, які необхідні для обчислення наведених задач.
Завдання принесуть в першу чергу користь учням 10-11 класів та абітурієнтам, що готуються проходити ЗНО тестування. 
Для батьків та вчителів даний матеріал також є корисним.

Пропонуємо завантажити відповіді (Посібник для підготовки до зовнішнього незалежного тестування з математики).
Автори: Анатолій Капіносов, Галина Білоусова, Галина Гап'юк, Сергій Мартинюк, Лариса Олійник, Петро Ульшин, Олег Чиж

 

Тема 36.2 Паралелепіпед

Задача 36.4 Знайти діагональ прямокутного паралелепіпеда, виміри якого дорівнюють 2 см, 3 см і 6 см.
паралелепіпед

Розв'язання: Всі грані прямокутного паралелепіпеда є прямокутники.
Нехай довжини ребер паралелепіпеда дорівнюють a=2 см, b=3 см і c=6 см, тоді діагональ BD1 прямокутного паралелепіпеда обчислюють за формулою:
(ця формула виводиться із прямокутних трикутників BAD і BDD1)

Відповідь: 7 см – Д.

 

Задача 36.5 Сторони основи прямокутного паралелепіпеда дорівнюють 5 см і 12 см, а діагональ паралелепіпеда нахилена до площини основи під кутом 450.
Знайти бічне ребро паралелепіпеда.
паралелепіпед

Розв'язання: Кожна грань прямокутного паралелепіпеда є прямокутником.
Тому у прямокутного паралелепіпеда кожне бічне ребро перпендикулярне до площини основи, а отже (за властивістю) і до кожної прямої, що належить площині основи.
Звідси слідує, що DD1⊥BD, тобто ∠BDD1=90.
Ортогональною проекцією діагоналі BD1 прямокутного паралелепіпеда є діагональ основи BD.
Тому кут між діагоналлю BD1 і площиною основи (грані ABCD) є кут DBD1, тобто ∠DBD1=45.
З прямокутного трикутника ABD (∠BAD=90), в якому AB=12 см і BC=5 см – катети, за теоремою Піфагора знайдемо діагональ BD основи паралелепіпеда:
Розглянемо прямокутний трикутник BDD1 (∠BDD1=90), в якому BD=13 см – прилеглий катет до ∠DBD1=45.
За означенням тангенса гострого кута прямокутного трикутника знайдемо бічне ребро DD1 паралелепіпеда:

Відповідь: 13 см – Б.

 

Задача 36.15 Основа прямого паралелепіпеда є ромб. Площі його діагональних перерізів дорівнюють S1 і S2.
Визначити висоту паралелепіпеда, якщо його об'єм дорівнює V.
ромб в основі паралелепіпеда

Розв'язання: Об'єм прямого паралелепіпеда:
V=Soc•H=SABCD•BB1,
де Soc= SABCD – площа основи паралелепіпеда, тобто площа ромба ABCD;
H=AA1=BB1=CC1=DD1 – висота прямого паралелепіпеда, звідси H=V/SABCD.
Діагональними перерізами прямого паралелепіпеда є прямокутники, у яких дві протилежні сторони є висотами (бічними ребрами) паралелепіпеда, а дві інші діагоналями основи паралелепіпеда (ромба ABCD).

Площа I прямокутника:
SAA1C1C=AA1•AC=H•AC=S1, звідси AC=S1/H.

Площа ІI прямокутника:
SBB1D1D=BB1•BD=H•BD=S2, звідси BD=S2/H.
Основи прямого паралелепіпеда є рівні ромби ABCD і A1B1C1D1.
Площа ромба ABCD:

Отже, знайдемо висоту паралелепіпеда:

звідси отримаємо H=S1S2/(2V).
Відповідь: H=S1S2/(2V)В.

 

Задача 36.19 Основою прямого паралелепіпеда є ромб, площа якого дорівнює S, а площі діагональних перерізів паралелепіпеда – S1 і S2.
Визначити висоту паралелепіпеда.


Розв'язання: Нехай Soc=SABCD=S – площа основи паралелепіпеда, тобто площа ромба ABCD;
H=AA1=BB1=CC1=DD1 – висота прямого паралелепіпеда.
Діагональними перерізами прямого паралелепіпеда є прямокутники, у яких дві протилежні сторони є висотами (бічними ребрами) паралелепіпеда, а дві інші – діагоналями основи паралелепіпеда (ромба ABCD).
Площа I прямокутника:

Площа ІI прямокутника:

Основи прямого паралелепіпеда є рівні ромби ABCD і A1B1C1D1.
Площа ромба ABCD:

Отже, знайдемо висоту паралелепіпеда:

Відповідь: А.

 

Задача 36.22 Площі трьох граней прямокутного паралелепіпеда дорівнюють S1, S2 і S3.
Визначити об'єм паралелепіпеда.


Розв'язання: Об'єм прямокутного паралелепіпеда:

де Soc=SABCD – площа основи паралелепіпеда, тобто площа прямокутника ABCD;
H=AA1=BB1=CC1=DD1 – висота прямокутного паралелепіпеда.
Гранями прямокутного паралелепіпеда є прямокутники.
І прямокутник ABCD лежить в основі, тому його сторони AB=CD=a, AD=BC=b.
ІІ прямокутник BB1C1C є однією з бічних граней зі сторонами BC=B1C1=b, BB1=CC1=H.
ІІІ прямокутник ABB1A1 є також однією з бічних граней (сусідній до ІІ прямокутника) зі сторонами AB=A1B1=a, AA1=BB1=H.
За властивістю паралелепіпеда протилежні грані паралельні та рівні.
Площа I прямокутника зі сторонами a і b:

звідси S1=ab.
Площа IІ прямокутника зі сторонами H і b:

звідси S2=Hb.
Площа ІІI прямокутника зі сторонами H і a:

звідси S3=Ha.
Запишемо добутки лівих і правих частин останніх трьох рівностей:

– об'єм прямокутного паралелепіпеда.
Відповідь: А.

 

 

Задача 36.27 Основою паралелепіпеда є ромб. Діагоналі паралелепіпеда дорівнюють 8 см і 5 см, а висота – 2 см.
Знайти у сантиметрах сторону основи.

Розв'язання: Маємо паралелепіпед, в основі якого лежить ромб ABBCD;
A1C=8 см і D1B=5 см діагоналі паралелепіпеда;
AA1=BB1=CC1=DD1=2 см – висота паралелепіпеда.
Висота паралелепіпеда перпендикулярна до площини основи (ромба ABCD), а значить і перпендикулярна до кожного відрізка, що лежить в площині ромба, тому AA1⊥AC і DD1⊥BD.
Звідси слідує, що трикутники A1AC і D1DB – прямокутні (∠A1AC=90 і ∠D1DB=90).
Розглянемо прямокутні трикутники A1AC (∠A1AC=90) і D1DB (∠D1DB =90).
В них відомо: A1A=DD1=2 см – катети, A1C=8 см і D1B=5 см – гіпотенузи відповідних прямокутних трикутників.
За теоремою Піфагора знайдемо два інших катети трикутників A1AC і D1DB:

Розглянемо ромб ABCD з діагоналями AC=2√15 см і BD=√21 см.
За властивістю ромба:
діагоналі ромба перпендикулярні (AC⊥BD) і в точці перетину діляться навпіл (AO=OC=√15 см і BO=OD=√21/2 см).
Отже, трикутник AOB – прямокутний (∠AOB=90) з катетами AO=√15 см і BO=√21/2 см.
За теоремою Піфагора знайдемо гіпотенузу AB – сторону основи паралелепіпеда (ромба ABCD): AB2=AO2+BO2,

Отож, AB=BC=CD=AD=4,5 см – сторона основи паралелепіпеда.
Відповідь: 4,5 см.

 

Задача 36.28 Діагоналі граней прямокутного паралелепіпеда мають довжини 5, 4√10 і 3√17.
Визначити діагональ паралелепіпеда.

Розв'язання: Всі грані прямокутного паралелепіпеда – прямокутники.
За властивістю прямокутного паралелепіпеда – протилежні грані паралельні та рівні.
Тому розглянемо 3 прямокутники:
І) A1B1C1D1 – основа паралелепіпеда зі сторонами A1B1=C1D1=a і B1C1=A1D1=b;
діагональ грані:
(1)
ІІ) AA1D1D – бічна грань паралелепіпеда зі сторонами AD=A1D1=b і AA1=DD1=c;
діагональ грані:
(2)
ІІІ) ABB1A1 – бічна грань паралелепіпеда зі сторонами A1B1=AB=a і AA1=BB1=c;
діагональ грані:
(3)
Довжини діагоналей граней (прямокутників) обчислювались із відповідних прямокутних трикутників за теоремою Піфагора.
Додамо обидві частини рівностей (1), (2) і (3), отримаємо:

отже BD1=13 см – довжина діагоналі прямокутного паралелепіпеда.
Відповідь: 13 см.

 

Задача 36.29 Визначити об'єм прямокутного паралелепіпеда, основою якого є прямокутник зі сторонами 3 і 4, а площа діагонального перерізу 20.
об'єм прямокутного паралелепіпеда
Розв'язання: Об'єм прямокутного паралелепіпеда обчислюють за формулою V=Sос•H, де Soc=SABCD – площа основи паралелепіпеда, тобто площа прямокутника ABCD;

H=AA1=BB1=CC1=DD1 – висота прямокутного паралелепіпеда (довжина бічного ребра);
AD=BC=3 і AB=CD=4 – сторони основи (прямокутника) ABCD.
Діагональним перерізом прямокутного паралелепіпеда є прямокутник AA1C1C, сторонами якого є діагоналі основи AC і A1C1 (прямокутника ABCD) й бічні ребра AA1 і CC1 прямокутного паралелепіпеда.
Знайдемо діагональ AC із прямокутного трикутника ACD (∠ADC=90) за теоремою Піфагора:
AC2=AD2+CD2, звідси

Площа діагонального перерізу (прямокутника AA1C1C):
SAA1C1C=AC•AA1=5H=20,
звідси 5H=20, тобто H=4– висота паралелепіпеда.
Об'єм прямокутного паралелепіпеда:
V=Sос•H=12•4=48.
Відповідь: 48.

 

Задача 36.30 У прямому паралелепіпеді сторони основи 2 і 8, а кут між ними 300. Бічна поверхня паралелепіпеда дорівнює 20. Визначити об'єм паралелепіпеда.
об'єм паралелепіпеда
Розв'язання: Об'єм прямого паралелепіпеда обчислюють за формулою V=Sос•H, де Soc=SABCD – площа основи паралелепіпеда, тобто площа паралелограма ABCD:

H=AA1=BB1=CC1=DD1 – висота прямого паралелепіпеда (довжина бічного ребра);
AD=BC=2 і AB=CD=8 – сторони основи (паралелограма) ABCD;
∠ABC=∠ADC=30 – кут між сторонами основи (паралелограма) ABCD.
Бічну поверхню (тобто її площу) прямого паралелепіпеда обчислюють за формулою
Sб=Pос•H,
де Pос=PABCD – периметр основи паралелепіпеда:

За умовою задачі Sб=Pос•H, звідси 20H=20, H=1 – висота паралелепіпеда.
Об'єм прямого паралелепіпеда:
V=Sос•H=8.
Відповідь: 8.

Якщо маєте запитання чи зауваження до наведених відповідей, тоді просимо Вас нам написати. В іншому випадку вважаємо, що матеріал Вам сподобався та був корисним. Далі розглянемо завдання на трикутні та чотирикутні призми.