Продовжуємо аналізувати готові відповіді із збірника для ЗНО підготовки. Сьогодні розв'яжемо кілька задач на перерізи циліндра. В залежності від площини, якою перетинаємо циліндр перерізом може бути прямокутник, коло, еліпс, в окремих випадках обрізаний еліпс. Якщо переріз проходить через вісь циліндра і по діаметру основ то його називають осьовим перерізом циліндра. Це найпростіший випадок і його вивчають на практичних заняттях в 10-11 класі з геометрії. Коли маємо перерізи паралельно основам, то отримаємо кола і якщо не паралельно – еліпс. З наступних кількох задач Ви навчитеся розв'язувати завдання, які можуть Вас чекати на практичних та вступних тестах.

Тема 38.5 Осьовий переріз циліндра. Переріз площинами

Задача 38.7 Площа бічної поверхні циліндра дорівнює S.
Визначити площу осьового перерізу.


Розв'язання: Площа бічної поверхні циліндра обчислюється за формулою:

де R – радіус (основи) циліндра;
H – висота (довжина твірної) циліндра;
D=2R – діаметр (основи) циліндра.
Але за умовою задачі бічна поверхня рівнаSb=S, звідси маємо залежність
πHD=S. (1)
Осьовим перерізом циліндра є прямокутник AA1B1B, сторони AA1=BB1 якого є твірними циліндра (їх довжина дорівнює висоті H циліндра), а інші дві сторони AB=A1B1 – діаметри основ циліндра.
Отже, AA1=BB1M=H і AB=A1B1=D.
Площа прямокутника AA1B1B (осьового перерізу):
Sпер=AA1•AB=H•D. (2)
Із виразу (1) маємо:
H•D=S/π – площа осьового перерізу заданого циліндра.
Відповідь: S/π – Д.

 

Задача 38.10 Паралельно до осі циліндра проведено площину, яка відтинає від кола основи дугу alpha.
Діагональ утвореного перерізу нахилена до площини основи під кутом beta.
Визначити площу перерізу, якщо радіус циліндра дорівнює R.


Розв'язання: Переріз циліндра площиною, яка проходить паралельно осі циліндра є прямокутник AA1B1B, сторони AA1=BB1 якого є твірними циліндра (їх довжина дорівнює висоті H циліндра), а інші дві сторони AB=A1B1 – хорди основ циліндра, тобто AB=A1B1.

Площа перерізу:
Sper=AA1•AB.
Оскільки у циліндра BB1=H – висота, то ∠BAB1=beta – кут між діагоналлю AB1 перерізу і площиною основи (бо відрізок AB – ортогональна проекція діагоналі AB1 на площину основи).
З центра основи O проведемо відрізки AO і BO.
Оскільки AB – хорда основи, то AO і BO – радіуси основи, тому AO=BO=R.
∠AOB=alpha, оскільки він є центральним кутом вписаним у коло, що опирається на відповідну дугу.
Звідси слідує, що ΔAOB – рівнобедрений з основою AB і бічними сторонами AO=BO=R.
За властивістю рівнобедреного трикутника (кути при основі рівні), маємо

У ΔAOB за теоремою синусів, маємо

У ΔABB1 за означенням тангенса, маємо

Площа перерізу:

Відповідь: – Д.

 

Задача 38.12 Радіус основи циліндра R. Площина перетинає бічну поверхню циліндра, але не перетинає основи й утворює кут alpha з площиною основи.
Знайти площу перерізу циліндра цією площиною.


Розв'язання: Площа круга з радіусом R – основи циліндра:
Soc=πR2.
Проведемо площину паралельно основі циліндра так, щоб задана площина перетиналась із нею.
Тоді в перерізі утвориться круг з центром O2 і радіусом R.
Його площа дорівнюватиме площі основи:
S2=Soc=πR2.
Маємо площину яка перетинає бічну поверхню циліндра і не перетинає основи.
В перерізі утвориться «фігура» з центром O3 (далі просто «переріз»).
Кут між заданою площиною і площиною основи – це кут alpha між «перерізом» і утвореним кругом з центром O2.
Утворений круг (як і основа циліндра) є ортогональною проекцією «перерізу» на площину основи, тому за теоремою

(Переріз, який утворився при перетині циліндра заданою площиною називається еліпсом (який виходить за рамки шкільної програми) з великою піввіссю і малою піввіссю b=R, тому його площа:).

Відповідь: – Г.

 

Задача 38.14 Через твірну циліндра проведено два взаємно перпендикулярні перерізи циліндра, площі яких дорівнюють 60 см2 і 80 см2. Знайти площу осьового перерізу.


Розв'язання: Маємо циліндр з твірною BB1, через яку проведено два взаємно перпендикулярні перерізи – прямокутники AA1B1B і BB1C1C з площами відповідно.
Позначимо довжини твірних через H:
AA1=BB1=CC1=H.
Площі прямокутників AA1B1B і BB1C1C обчислюються за формулами:

Звідси, AB=60/H, BC=80/H.
Розглянемо ΔABC, у якого AB⊥BC, оскільки перпендикулярні їх перерізи.

Тобто AB=60/H і BC=80/H – катети прямокутного ΔABC (∠ABC=90).
Звідси слідує, що відрізок AC – діаметр, тобто сторона осьового перерізу циліндра (бо прямий кут у колі спирається на діаметр).
За теоремою Піфагора знайдемо гіпотенузу AC:

Осьовий переріз – прямокутник AA1C1C зі сторонами AA1=CC1=H і AC=100/H. Площа осьового перерізу (прямокутника AA1C1C):

Відповідь: 100 см2 – Г.

Задача 38.20 Дано циліндр з радіусом 2 і висотою 0,5. S(x) – площа перерізу циліндра площиною, паралельно до його осі, де x – відстань від осі циліндра до площини перерізу. Який з наведених графіків є графіком функції площі S(x)?


Розв'язання: Маємо циліндр з радіусом R=OA=OB=2 і висотою H=AA1=BB1=CC1=0,5, де AA1B1B – це переріз циліндра площиною, що проведений паралельно до його осі OO1 на відстані x. Оскільки переріз AA1B1B паралельний до осі циліндра, звідси слідує, що AA1B1B перпендикулярний до площини основи (круга) циліндра, тому AA1B1B – прямокутник з площею Sper=AB•AA1=AB•H.
З центра основи циліндра (кола) проведемо перпендикуляр OM=x до площини перерізу AA1B1B – відстань від осі циліндра до перерізу AA1B1B. Оскільки переріз перпендикулярний до площини основи циліндра, то OM⊥AB.
Розглянемо ΔAOB, у якого R=OA=OB=2 як радіуси основи і OM=x – висота, що проведена до сторони AB. Звідси слідує, що ΔAOB – рівнобедрений з основою AB, а OM=x – медіана і бісектриса, проведені до основи AB, тобто маємо AB=2AM. Із прямокутного ΔAOM (∠AMO=90) за теоремою Піфагора знайдемо катет AM (OA=2 – гіпотенуза, OM=x – катет):
Площа перерізу (прямокутника AA1B1B):

Отримали графік функції четвертинки кола з центром (0;0) і радіусом r=2 (детальніше про це у розділі 41), що відповідає графіку Д.
Відповідь: Д.

 

Задача 38.26 Площина, паралельна до осі циліндра, відтинає від кола основи дугу 1200. Знайти площу перерізу, якщо висота дорівнює 10, а відстань від осі циліндра до січної площини дорівнює √3.

Розв'язання: Маємо циліндр з висотою H=10. Маємо переріз циліндра AA1B1B, який проходить паралельно осі OO1 циліндра і відтинає від кола основи дугу 1200 (за умовою задачі), а значить перпендикулярний до площини основи (за властивістю). Звідси слідує, що AA1=BB1=10 – висота циліндра. Площа перерізу:
Sпер=AB•AA1=10AB.
Проведемо перпендикуляр OM до площини перерізу (OM⊥AB). Оскільки переріз AA1B1B перпендикулярний до площини основи, то відрізок OM=√3 – відстань від осі циліндра OO1 до січної площини AA1B1B.
Проведемо відрізки AO і BO. Оскільки точки A і B належать основі циліндра (як точки перетину січної площини з основою циліндра), то AO=BO=R – радіуси основи.
∠AOB=120, оскільки він є центральним кутом вписаним у коло, що опирається на відповідну дугу.
Звідси слідує, що трикутник AOB – рівнобедрений з основою AB.

Тоді за властивістю:
OM – висота, медіана і бісектриса проведені до основи AB.
Отже, AM=BM=AB/2, тобто AB=2•AM і .
Із прямокутного трикутника AOM(∠AMO=90), у якого OM=√3 – прилеглий катет до кута ∠AOM=60 за означенням тангенса гострого кута прямокутного трикутника знайдемо протилежний катет AM:

Отже, AB=2AM=6, тоді площа перерізу AA1B1B:

Відповідь: 60.

 

Задача 38.28 Із квадрата, діагональ якого дорівнює 2√π, згорнута бічна поверхня циліндра. Визначити площу основи циліндра.
 
Розв'язання: Маємо розгортку циліндра – квадрат AA1A1'A', причому
Нехай сторона квадрата дорівнює a (AA1=A1A1'=A'A1=AA'=a), тоді діагональ квадрата:

Але за умовою задачі маємо

Оскільки квадрат AA1A1'A' – розгортка циліндра, то довжина його сторони дорівнює довжині основи (кола) циліндра з радіусом OA=R.

Отже, a=2πR – довжина кола, звідси
– радіус кола, основи циліндра.
Площа основи циліндра:

Отже, Soc=0,5 – площа круга.
Відповідь: 0,5.

 

Задача 38.29 Площина, паралельна до осі циліндра, відтинає від кола основи дугу 600. Твірна циліндра дорівнює 10√3, а відстань від осі до січної площини – 2. Знайти площу перерізу.

Розв'язання: Маємо циліндр з довжиною твірної AA1=BB1=10√3. Маємо переріз циліндра AA1B1B, який проходить паралельно осі OO1 циліндра і відтинає від кола основи дугу 600 (за умовою задачі), а значить перпендикулярний до площини основи (за властивістю). Звідси слідує, що H=10√3 – висота циліндра. Площа перерізу:
Sпер=AB•AA1=10√3•AB.
Проведемо перпендикуляр OM до площини перерізу (OM⊥AB). Оскільки переріз AA1B1B перпендикулярний до площини основи, то відрізок OM=2 – відстань від осі циліндра OO1 до січної площини AA1B1B.
Проведемо відрізки AO і BO. Оскільки точки A і B належать основі циліндра (як точки перетину січної площини з основою циліндра), то AO=BO=R – радіуси основи.

∠AOB=60, оскільки він є центральним кутом вписаним у коло, що опирається на відповідну дугу. Звідси слідує, що трикутник AOB – рівнобедрений з основою AB. Тоді за властивістю:
OM – висота, медіана і бісектриса проведені до основи AB.
Отже, AM=BM=AB/2, тобто AB=2AM і ∠AOM=∠AOB/2=60/2=30.
Із прямокутного трикутника AOM(∠AMO=90), у якого OM=2 – прилеглий катет до кута ∠AOM=30 за означенням тангенса гострого кута прямокутного трикутника знайдемо протилежний катет AM:

Отже, , тоді площа перерізу AA1B1B:

Відповідь: 40.

 

 Далі розглянемо завдання на знаходження висоти циліндра.