В інтернеті Ви можете зустріти безліч умов до задач на чотирикутну призму, однак не всі вони містять готові відповіді. Далі наведені готові розв'язки до посібника із ЗНО підготовки, які навчать вас знаходити площу повної поверхні призми, площу основи, об'єм, кути і т.д. Проаналізувавши відповіді, Ви можете пригадати потрібні формули та властивості призм. Приклади в першу чергу необхідні школярам 10-11 класів для покращення знань з геометрії, далі абітурієнтам для підготовки до вступу у ВУЗи, а також батькам для перевірки правильності обчислень їх дітей та вчителям для підготовки уроків. Нові малюнки до завдань допоможуть Вам швидко розібратися з обчисленнями.


Пропонуємо завантажити відповіді (Посібник для підготовки до зовнішнього незалежного тестування з математики).
Автори: Анатолій Капіносов, Галина Білоусова, Галина Гап'юк, Сергій Мартинюк, Лариса Олійник, Петро Ульшин, Олег Чиж

 

Тема 36.4 Чотирикутна призма

Задача 36.9 Знайти площу повної поверхні правильної чотирикутної призми, сторона основи якої дорівнює a, а висота – H.
чотирикутна призма

Розв'язання: Площа повної поверхні правильної призми:
Sn=2Soc+Sb.
В основі правильної чотирикутної призми лежить квадрат зі стороною a.
Тому площа основи:
Soc=a2,
периметр основи:
Poc=4a.
Площа бічної поверхні:
Sb=Soc•H=4aH.
Площа повної поверхні правильної чотирикутної призми:
Sn=2Soc+Sb=2a2+4aH=2a(a+2H).
Відповідь: 2a(a+2H)Д.

 

Задача 36.10 В основі прямої призми лежить рівнобічна трапеція з основами 4 см і 10 см і бічною стороною 5 см. Бічне ребро призми дорівнює 10 см.
Обчислити повну поверхню призми.
повна поверхня призми

Розв'язання: Площа повної поверхні прямої призми:
Sп=2Soc+Sb.
В основі прямої призми лежить рівнобічна трапеція з основами AD=4 см і BC=10 см і бічною стороною AB=CD=5 см.
трапеція
Знайдемо висоту DL трапеції.

Із прямокутного трикутника DLC (∠DLC=90, бо DL⊥BC, CD=5 см – гіпотенуза і CL=3 см – катет) знайдемо катет DL.
DL2=CD2-CL2, звідси

Площа основи – трапеції ABCD:

Периметр основи:
Poc=AB+BC+CD=2•5+10+4=24 см.
Площа бічної поверхні:
Sб=Poc•h=24•10=240 см2.
Площа повної поверхні прямої призми:
Sп=2Soc+Sb=2•28+240=296 см2.
Відповідь: 296 см2Д.

 

 

Задача 36.16 Діагональ правильної чотирикутної призми дорівнює 13 см, а діагональ бічної грані дорівнює 12 см. Знайти площу основи призми.
площа основи призми

Розв'язання: В основі правильної чотирикутної призми лежить квадрат зі стороною a, тому площу основи обчислимо за формулою:
Soc=a2.
У правильної призми бічне ребро перпендикулярне до площини основи CC1⊥ (ABC), тому CC1⊥BC. Звідси CC – перпендикуляр опущений з вершини C1 на площину основи (на квадрат ABCD), BC1 – похила, яка опущена з цієї ж вершини C1 на площину основи, BC – проекція похилої BC1.
Оскільки основа – квадрат ABCD, то AB⊥BC.
За теоремою «Про три перпендикуляри» маємо AB⊥BC1, тому ΔABC1 – прямокутний (∠ABC1=90). З прямокутного трикутника ABC1 (∠ABC1=90), в якому BC<1=12 см – катет (діагональ бічної грані) і AC1=13 см – гіпотенуза (діагональ призми), за теоремою Піфагора знайдемо катет AB=a – довжину сторони квадрата:

Площа основи правильної чотирикутної призми – квадрата ABCD:
Soc=a2=52=25 см2.

Відповідь: 25 см2Б.

 

Задача 36.17 У правильній чотирикутній призмі площа діагонального перерізу дорівнює S. Визначити площу бічної поверхні.
площа бічної поверхні призми

Розв'язання: Площа бічної поверхні правильної чотирикутної призми зі стороною основи a і висотою H обчислюють за формулою:
Sб=Poc•H=4aH.
У правильній чотирикутній призмі діагональним перерізом є прямокутник ACC1A1 зі сторонами діагоналі основи призми AC і висоти CC1=H.
Діагональ основи правильної чотирикутної призми (квадрата ABCD):

(Обчислюємо як довжину гіпотенузи прямокутного ΔABC (∠ABC=90)).
Площа діагонального перерізу:

Площа бічної поверхні правильної чотирикутної призми:

Відповідь: 2√2SВ.

 

Задача 36.18 Діагональним перерізом правильної чотирикутної призми є квадрат, площа якого дорівнює S. Визначити об'єм призми.
об'єм призми

Розв'язання: Об'єм правильної чотирикутної призми зі стороною основи a і висотою H обчислюють за формулою:

За умовою задачі у правильній чотирикутній призмі діагональним перерізом є квадрат ACC1A1 зі стороною діагоналі основи призми AC.
Діагональ основи правильної чотирикутної призми (квадрата ABCD):

(Обчислюємо як довжину гіпотенузи AC прямокутного ΔABC).
Площа діагонального перерізу:

звідси отримаємо

Оскільки ACC1A1 – квадрат, то

Об'єм правильної чотирикутної призми:

Відповідь: S√S/2Д.

 

Задача 36.20 Бічна поверхня правильної чотирикутної призми дорівнює Q, а її об'єм – V. Визначити сторону основи призми.


Розв'язання: В основі правильної чотирикутної призми лежить квадрат зі стороною a.
Об'єм правильної чотирикутної призми зі стороною основи a і висотою H обчислюють за формулою:
V=Soc•H=a2•H.
Бічна поверхня (площа бічної поверхні) правильної чотирикутної призми зі стороною основи a і висотою H обчислюють за формулою:
Sб=Pос•H=4aH.
За умовою задачі

Складемо відношення

звідси отримаємо
a=4V/Q.
Відповідь: 4V/Q – Д.

 

Задача 36.21 Розгорткою бічної поверхні правильної чотирикутної призми є квадрат зі стороною 8 дм. Знайти об'єм призми.
об'єм призми

Розв'язання: Об'єм правильної чотирикутної призми зі стороною основи a і висотою H обчислюють за формулою:
V=Soc•H=a2•H.
В основі правильної чотирикутної призми лежить квадрат ABCD зі стороною a.
Оскільки розгорткою призми є квадрат зі стороною 8 дм, то висота призми дорівнює периметру основи призми:
H=Poc=8 дм.
Периметр квадрата:
Poc=4a=8 дм, звідси a=2 дм – довжина сторони основи.
Об'єм правильної чотирикутної призми:
 Відповідь: 32 дм3В.

 

Задача 36.24 Установити відповідність між площами діагональних перерізів (1–4), які є квадратами у правильних чотирикутних призм, та об'ємами цих призм (А–Д).


Розв'язання: (Розв'язок цієї задачі дивись у номері 36.18.)
Обчислимо об'єм призми для кожного випадку:
1) S=64 м2, тоді Г;
2) S=16 см2, тоді А;
3) S=36 см2, тоді В;
4) S=4 см2, тоді Д.

 

Задача 36.26 Діагональ правильної чотирикутної призми утворює з площиною основи кут 450. Знайти у градусах кут, утворений цією діагоналлю з площиною бічної грані.

Розв'язання: У правильної призми бічне ребро (висота) перпендикулярна до площини основи (квадрата ABCD), тому бічне ребро перпендикулярне до кожного відрізка, що лежить в площині основи, тобто CC1⊥AC, CC1⊥BC.
Так як CC1⊥AC, то відрізок AC (діагональ квадрата) є ортогональною проекцією діагоналі призми AC1, тому ∠C1AC=45 – кут між діагоналлю призми і площиною основи і ΔC1AC – прямокутний (∠ACC1=90).
Нехай сторона основи правильної чотирикутної призми дорівнює a.
Оскільки в основі призми лежить квадрат, то за теоремою Піфагора у прямокутному ΔABC (∠ABC=90) маємо

Розглянемо прямокутний трикутник C1AC, у якого ∠ACC1=90 і ∠C1AC=45. За теоремою про суму кутів трикутника, маємо ∠CC1A=180-(90+45)=45.
Звідси слідує, що ΔC1AC – рівнобедрений з основою AC1 і бічними сторонами AC=CC1=a√2.
За теоремою Піфагора обчислимо довжину діагоналі призми AC1:
Відрізок CC1 – перпендикуляр опущений з вершини C1 на площину основи (на квадрат ABCD), BC1 – похила, яка опущена з цієї ж вершини C1 на площину основи, BC – проекція похилої BC1.
Оскільки основа – квадрат ABCD, то AB⊥BC.
За теоремою «Про три перпендикуляри» маємо AB⊥BC1, тому ΔABC1 – прямокутний (∠ABC1=90), а – кут між діагоналлю призми AC1 з площиною бічної грані BB1C1C, оскільки відрізок BC1 – ортогональна проекція відрізка AC1 на площину бічної грані BB1C1C.
Розглянемо прямокутний трикутник ABC1, у якого ∠ABC1=90, AC1=2a – гіпотенуза, і AB=a – протилежний катет до кута
За означенням синуса гострого кута у прямокутного трикутника маємо
звідси слідує, що

Відповідь: 300.

 

Задача 36.34 Висота правильної чотирикутної призми дорівнює 5, а кут між діагоналями, проведеними з однієї вершини основи у двох суміжних бічних гранях, – 600. Визначити площу бічної поверхні призми.
площа бічної поверхні призми
Розв'язання: Площу бічної поверхні правильної чотирикутної призми зі стороною основи a і висотою H обчислюють за формулою:
Sb=Poc•H=4a•5=20a, де H=AA1=BB1=CC1=DD1=5 – висота правильної чотирикутної призми;
a=AB=BC=CD=AD – сторона основи правильної чотирикутної призми.
Нехай ∠BAD1 – кут між діагоналями AB1 і AD1 двох суміжних бічних граней AA1B1B і AA1D1D відповідно.
Проведемо відрізок B1D1 (діагональ грані A1B1C1D1) і розглянемо трикутник B1A1D1.
Оскільки в умові задана правильна чотирикутна призма, то в основі лежать квадрати, а бічні грані є рівними прямокутниками.
У рівних прямокутників всі діагоналі рівні, тому AB1=AD1.
Отже, ΔB1AD1 – рівнобедрений з основою B1D1 і (за властивістю)

Трикутник, у якого всі кути рівні (∠AB1D1=∠AD1B1=∠B1AD1=60) – рівносторонній:
AB1=AD1=B1D1.
Правильна чотирикутна призма, у якої всі діагоналі граней рівні (а відповідно, і всі ребра рівні) називається кубом.
Тому довжина ребра куба:
a=H=5.
Площа бічної поверхні правильної чотирикутної призми (куба):
Sb=Poc•H=20•5=100
Відповідь: 100.

На наступному уроці розберемо складніші приклади на похилі трикутні та чотирикутні піраміди, а далі перейдемо до пірамід.  Всім школярам, для яких ця тема здається важкою рекомендуємо переглянути попередні простіші статті на паралелепіпеди та куби.