Вычисление асимметрии и эксцесса позволяет установить симметричность распределения случайной величины относительно
Для этого находят третий центральный момент, характеризующий асимметрию закона распределения случайной величины. Если он равен нулю
, то случайная величина
симметрично распределена относительно математического ожидания
Поскольку
имеет размерность случайной величины в кубе, то вводят безразмерную величину — коэффициент асимметрии:
Центральный момент четвертого порядка используется для определения эксцесса, характеризует плосковершиннисть или гостровершиннисть плотности вероятности Эксцесс вычисляется по формуле
Число 3 вычитается для сравнения отклонения от центрального закона распределения (нормального закона), для которого подтверждается равенство:
Итак, для нормального закона распределения. Если эксцесс положительный
то на графике функция распределения остро вершину и для отрицательных значений
более пологую. Таким образом можно установить отклонения заданного закона от нормального. Для наглядности при различных значениях асимметрии и эксцесса
графики плотности вероятностей
изображены на рисунках ниже
Приведу Вам один из распространенных примеров.
Пример 1. Дана плотность вероятностей:
Вычислить асимметрию и эксцесс .
Решение. Вычисляем математическое ожидание случайной величины
после этого - третий момент инерции
Поскольку момент нулевой то и асимметрия равна нулю
.Следовательно, возможные значения случайной величины
симметрично распределены относительно единицы
. Для вычисления эксцесса
необходимо найти четвертый момент
и среднее квадратическое отклонение.
.
По найденным значениям вычисляем дисперсию
после нее среднее матиматичне отклонения
Окончательно получим
отрицательный эксцесс, что указывает на пологость функции распределения. Сам график функции с найденными величинами приведен на рисунку ниже
--------------------------------------
Хорошо разберите приведенный пример, все другие подобные. Найти асимметрию и эксцесс довольно легко тем, кто хорошо умеет интегрировать и не спешит при вычислениях.