Площадь поверхности вращения кривой вокруг оси

Площадь поверхности P, что образована вращением гладкой кривой AB вокруг оси Ox где y(x) - непрерывная гладкая функция равняется
, где ds - дифференциал дуги.

Основные формулы теории расчета площади поверхности Вы имеете, теперь перейдем к примерам, что Вас ожидают на практике и экзаменах.
Задание подобрано из учебной программы для студентов мех-мату Львовского национального университета имени Ивана Франко.
Другие Вузы имеют подобную программу учебы, задания похожие, а в ряде случаев те же.
Номера в примерах отвечает номеру из сборника Б. П. Демидовича. Для изучения основных моментов формулы интегрирования для вычисления площади поверхности вращения будут повторяться из примера в пример.
Часть заданий проиллюстрируем графиками кривых.

Пример 2486 Найти площадь поверхности вращения кривой вокруг оси Ox.
Решение: Найдем дифференциал дуги:
для этого вычисляем производную функции и, возведя к квадрату, подставляем в формулу

Запишем пределы интегрирования (известно за условием):
 
Интегрированием находим площадь поверхности вращения:

Как видите больше всего трудностей возникает при нахождении интеграла.
Здесь пришлось выделить полные квадраты под корнем, а дальше перейти к новой переменной под интегралом.
Не забывайте, что это приводит к изменению пределов интегрирования. Также здесь и в следующих примерах будем искать лишь интеграл, то что площадь измеряется в единицах квадратных Вы должны знать еще из школы.

Пример 2487 Найти площадь поверхности вращения кривой вокруг оси Ox.
Решение: Вычисляем дифференциал дуги кривой:

За условием предела интегрирования: xє[-b;b].
За формулой находим площадь поверхности вращения:

Здесь также под интегралом переходим к новой переменной, дальше после возведения к табличным интегралам подставляем пределы и упрощаем логарифмы.

Пример 2492 Найти площадь поверхности вращения астроиды вокруг оси Ox. (Смотри 2429)
Решение: Записываем уравнение астроиды в параметрическом виде:

Находим дифференциал дуги параметрически заданной кривой по формуле:

Заметьте, что для параметрически заданной кривой формула несколько иная.
Запишем пределы интегрирования:
и при интегрировании результат умножим на 2 (в силу симметрия).
Вычислим площадь поверхности вращения:

Замена переменных упрощает интегрирование.

Пример 2495 Найти площадь поверхности вращения кривой, заданной параметрически x=a(t-sin (t)), y=a(1-cos(t)), t[0;2pi]
а) вокруг оси Ox;
б) вокруг оси Oy;
в) вокруг прямой y=2a.
Решение: Найдем дифференциал дуги параметрически заданной кривой:

При упрощении использовали известные тригонометрические зависимости.
Пределы интегрирования:
 
Найдем площадь поверхности вращения вокруг осей:
а)
б)
в) площадь поверхности вращения вокруг прямой y=2a

Здесь использовали симметрию относительно прямой x₁=a*Pi, поэтому результат умножили на 2.

Пример 2497 Найти площадь поверхности вращения кардиоиды вокруг полярной оси.

Решение: Для кривой заданной в полярных координатах дифференциал дуги находим по формуле:

Пределы интегрирования:

Вычислим площадь поверхности вращения кардиоиды:

Здесь также использовали замену переменных под интегралом.

Пример 2498 Найти площадь поверхности вращения лемнискаты

а) вокруг полярной оси;
б) вокруг оси phi=Pi/2;
в) вокруг оси phi=Pi/4.

Решение: Найдем дифференциал дуги ():

а) Пределы интегрирования:
Результат умножим на 2 в силу симметрии графика.
Интегрированием определяем площадь поверхности вращения лемнискаты вокруг полярной полярной оси:


б) Запишем пределы интегрирования:

Результат умножим на 2 (симметрия)
Находим площадь поверхности вращения лемнискаты под углом phi=Pi/2:

Формулы перехода от прямоугольной к полярной системе координат:
и .

в) Пусть луч будет полярной осью системы , где .
Тогда
Пределы интегрирования:
В системе координат , имеем:
для P₁ и для P₂.
С учетом симметрии точек кривой, переходя к системе координат , будем иметь
: для P₁;
для P₂.
Находим площади поверхностей вращения


и упростим их

Использованная литература:
1. Практикум из математического анализа. Часть 2. Заболоцький М. В., Фединяк С. И., Филевич П. В. - Львов: Издательский центр ЛНУ имени Ивана Франко, 2006. - 68 с.
2. Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. Учебное пособие для студентов физических и механико-математических специальностей ВУЗов.-9-е изд.-М.: Наука, главная редакция физико-математической литературы, 1977. - 528 с.
3. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том ІІ : - М.: Наука, главная редакция физико-математической литературы, 1966. - 800 с.
4. Справочное пособие по математическому анализу, часть И -К. : "Высшая школа", 1978. - 696 с.