Криволинейный интеграл I рода. Примеры

Определенные интегралы в случаях когда интегрирование проводится не вдоль отрезка, а некоторой кривой (на плоскости или в пространстве) называются криволинейными. Различают криволинейные интегралы І и ІІ рода.

Формулы криволинейного интегралу первого рода

Пусть в пространстве (на плоскости) задано параметрическое уравнение гладкой кривой f (x, y, z)
x=x(t), y=y(t), z=z(t).
tє[a, b].
Каждая из функций непрерывна на промежутке интегрирования.
Функция f(x, y, z)=0 описывает кривую в пространстве.
В таком случае криволинейный интеграл первого рода равен интегралу за параметром от функции умноженной на корень квадратный из суммы квадратов производных координат за параметром

Для случая кривой на плоскости формула неопределенного интегралу I роду упрощается

Когда кривая интегрирования задана явно y=y(x), формула перехода к определенному интегралу имеет вид

Пусть функция задана полярными координатами rho=rho(phi), phi₁<phi<phi₂. Тогда криволинейный интеграл первого рода вдоль кривой вычисляется по формуле

На этом все формулы, что Вам нужны для вычисления интегралов, однако без готовых ответов трудно представить их приложение, поєтому перейдем к практической части.

Вычисление криволинейных интегралов I рода

Примеры подобрано из учебной программы для студентов ЛНУ им. И. Франко. Они охватывают широкий класс заданий, которые непременно встретите на контрольной работе и экзаменах. Поэтому внимательно разберите ответы к примерам и выучите приведенные наверху формулы вічисления криволинейных интегралов.

Пример 1.7 Вычислить криволинейный интеграл вдоль дуги L - отрезок прямой z=x/2-2, что соединяет точки A(0;- 2) и B(4;0) в плоскости xOz.
Решение: Построим графически прямую и нанесем на нее точки ограничивающие дугу

За видом видим, что необходимо вычислить криволинейный интеграл I рода.
z=x/2-2, z'=1/2.
Подынтегральная функция примет значение
1/(x-z)=1/(x -(x/2-2))=1/(0,5x+2).
Найдем дифференциал дуги заданной кривой по формуле

Подставляем и находим криволинейный интеграл

Неопределенный интеграл сводится к логарифму, который не имеет особенностей (гладкая функция) на промежутке интегрирования.

Пример 1.10 Вычислить криволинейный интеграл вдоль дуги L:
, где L - дуга кривой x=a*cos(t), y=a*sin(t), z=b*t, t[0;2pi].
Решение: Параметрическая кривая x=a*cos(t), y=a*sin(t), z=b*t, t[0;2pi] описывает часть винтовой линии.
Ее график на цилиндрической поверхности имеет вид.

Часть винтовой линии, которая отвечает промежутку [0;2pi] изображена красным цветом.
Подынтегральная функция равна x²+y²+z².
Нужно вычислить криволинейный интеграл I рода.
Находим производные координат по параметру
x'_t=a*sin(t), y'_t=a*sin(t), z'_t=b.
Дальше вычисляем дифференциал дуги параметрически заданной кривой согласно формуле:

Формулы дифференциалу дуги в декартовой, полярной и пространственной системах координат приведены в теоретическом материале и поэтому здесь на них задерживаться не будем.
Интегрированием вычисляем криволинейный интеграл

Интеграл не сложен в плане расчетов.

Пример 1.12 Вычислить криволинейный интеграл вдоль дуги L, где L - дуга кривой x=cos(t), y=sin(t), z=t [0;2pi].
Решение: Имеем идентичное уравнение x=cos(t), y=sin(t), z=t - винтовой линии.

Для вычисления криволинейного интеграла I рода находим производные координат
x'_t=-sin(t), y'_t=cos(t), z'_t=1.
Подставляем их в дифференциал дуги винтовой линии:

Превращаем подінтегральную функцию и находим криволинейный интеграл

Пример 1.14 Вычислить криволинейный интеграл int(x+y, dS)
вдоль дуги L - дуга кривой x=t, , z=t^₃, [0;1].
Решение: Прежде чем вычислить криволинейный интеграл I рода находим производные за параметром.

Подставляем их в формулу дифференциала дуги:

Определенный интеграл вычисляем в указанных пределах

Под интегралом раскрыли скобки и применили простые формулы интегрирования.

Пример 1.18 Вычислить криволинейный интеграл int (1/x²+y²+z²,ds)
вдоль дуги кривой L:
x=a*cos(t), y=a*sin(t), z=b*t, t[0;2pi].
Решение: Интегрировать опять придется вдоль винтовой линии.

Производные за параметром имеют вид
x'_t=-a*sin(t), y'_t=a*sin(t), z'_t=b.
Вычисляем дифференциал дуги кривой:

Дальше превращаем криволинейный интеграл к определенному и находим его значение

При интегрировании будем иметь арктангенс.
В результате вычислений получили компактную формулу через параметры формы цилиндра.

Пример 1.20 Вычислить криволинейный интеграл int(x^4/3+y^4/3,ds) вдоль дуги L:
дуга астроиды x^2/3+y^2/3=a^2/3.
Решение: Запишем параметрическое уравнение астроиды:
x=a*cos³(t), y=a*sin³(t), где t[0;2pi].
График астроиды в декартовой системе координат имеет вид

Для вычисления криволинейного интеграла I рода вычисляем производные за параметром
x'_t=-3a*cos²(t)*sin(t), y'_t=3a*cos(t)*sin²(t).
и подставляем в дифференциал дуги астроиды:

Криволинейный интеграл 1 рода находим методом замены переменной

Это позволяет перейти к простому понятному виду подынтегральной функции.

Пример 1.21 Вычислить криволинейный интеграл вдоль дуги лемнискаты (x²+y²)²=a²(x²-y²).
Решение: Для лемнискаты раньше рассматривали интегралы на нахождение площади.

Запишем уравнение лемнискаты в полярной системе координат, используя превращение координат:

Тогда из уравнения дуги

выражаем радиус-вектор и вычисляем производную за углом

Найдем дифференциал дуги по формуле:

Запишем подынтегральную функцию:

Вычисляем криволинейный интеграл первого роду как 4 интеграла по 1 четверти

Синус в первой четверти положителен, поэтому модуль опускаем.

Пример 1.25 Вычислить криволинейный интеграл вдоль дуги L:
, где L - четверть круга x²+y²+z²=R², y=x что лежит в первом октанте.
Решение: Имеем сферу x²+y²+z²=R² и плоскость y=x, которая ее пересекает.
График дуги в пространстве имеет вид как на рисунку

В сечении получим круг, который проектируется на плоскость y=x уравнением X²+z²=R², где
Такие манипуляции необходимы, чтобы параметризовать круг
Параметрическое уравнение круга:
x=R*cos(t), z=R*sin(t) и t[0;Pi/2] (I октант).
Тогда переменные выражаются зависимостью

Вычисляем производные

затем находим дифференциал дуги:

Подставляем все в интеграл и выполняем вычисление

Как Вы могли убедиться, ничего сложного в нахождении криволинейных интегралов первого рода нет. В теории известны формулы как переходить от криволинейных к определенным интегралам, ими и воспользовались. Сами же интегралы не сложны, да и кривые на практике подбираются таким образом, чтобы Вы с ними долго не возились на практических занятиях.
Все сводится к умению интегрировать, что в свою очередь требует знания таблицы основных интегралов.