Функція f(x) називається неперервною в точці х=а, якщо:
1) вона визначена в цій точці;
2) існує границя функції в цій точці

3) значення границі дорівнює значенню функції в точці х=а, тобто

Якщо одна із умов порушується, то функція називається розривною в точці х=а, а сама точка х=а називається точкою розриву. Усі елементарні функції є неперервними на інтервалах визначеності.

КЛАСИФІКАЦІЯ ТОЧОК РОЗРИВУ

Точка х0 називається точкою розриву першого роду функції у = f(x), якщо існують скінчені односторонні границі справа
границя справа
та зліва
границя зліва.

Якщо, крім того, виконується хоча б одна із умов
неусувний розрив першого роду
то функція в точці х=а має неусувний розрив першого роду.

Якщо границі функції рівні проте функція не існує
усувний розрив першого роду
то маємо усувний розрив першого роду.

Точка х0 називається точкою розриву другого роду функції у= f(x), якщо границя справа границя або зліва границя не існує або нескінченна.

Стрибком функції в точці розриву х=х0 називається різниця її односторонніх границь
стрибок функції в точці
якщо вони різні.

Правила знаходження точок розриву функції

1) елементарна функція може мати розрив тільки в окремих точках, але не може бути розривною на певному інтервалі.
2) елементарна функція може мати розрив в точці де вона не визначена за умови, що вона буде визначена хоча би з однієї сторони від цієї точки.
3) неелементарна функція може мати розриви як в точках, де вона невизначена, так і в тих, де вона визначена.
Наприклад, якщо функція задана кількома різними аналітичними виразами (формулами) для різних інтервалів, то на межі стику може бути розривною.

Приклади знаходження точок розриву функції

Завдання 1.Знайти точки розриву функції
а) функція, приклад

Розв'язання: Функція визначена в усіх точках крім тих де знаменник перетворюється в нуль x=1,x=-1. Область визначення функції наступна

Знайдемо односторонні границі в точках розриву
границя справа
границя зліва
границя справа
границя зліва
При знаходженні односторонніх границь подібного вигляду достатньо переконатися в знаку функції та в тому, що знаменник прямує до нуля. В результаті отримаємо границю рівну безмежності або мінус безмежності.
Оскільки в точках x=1,x=-1 функція має нескінченні односторонні границі, то аргументи x=1,x=-1 є точками розриву ІІ роду. Графік функції наведено на рисунку нижче

графік функції, точки розриву

 

б) функція, приклад

Розв'язання: Завдання подібне до попереднього. В першу чергу знаходимо нулі знаменника



Таким чином функція визначена на всій дійсній осі за виключенням точок x=-3; x=1, які є точками розриву. Обчислимо односторонні границі справа та зліва
границя справа
границя зліва
границя справа
границя зліва
Границі функції нескінченні, тому, за означенням, маємо точки розриву x=-3; x=1 другого роду.

точки розриву фунції

Із графіків наведених функцій бачимо, що для ряду з них відшукання точок розриву еквівалентне знаходженню вертикальних асимптот. Але бувають функції, які і без вертикальних асимптот мають розриви першого чи другого роду.

 

в) функція, приклад

Розв'язання: Задана функція неперервна на всій числовій осі крім точки x=-3. Обчислимо односторонні границі в цій точці
границя справа
границя зліва
Вони різняться за значеннями, проте є скінченними. Отже точка x=-3 є неусувною точкою розриву І роду.

графік функції, точки розриву

 

Завдання 2.Знайти точки розриву функції, якщо вони існують. Обчислити стрибок функції в точці розриву. Побудувати графік функції.

а) функція, приклад

Розв'язання:Для заданої дробової функції з модулем в знаменнику точка x=2 є точкою розриву. Знайдемо границі, щоб визначити характер розриву
границя справа
границя зліва
За означенням, точка x=2 є неусувною точкою розриву першого роду. Обчислимо стрибок функції при x=2

Графік функції на інтервалі, який нас цікавить наведено далі

точки розриву

 

б) функція, приклад

Розв'язання: Неелементарна функція y(x) визначена для всіх невід'ємних значень аргументу. Точки, які розбивають функцію на інтервали можуть бути розривами. Для перевірки знайдемо відповідні границі
границя зліва
границя справа

Оскільки границі в точці x=2 рівні значенню функції в цій точці, то функція – неперервна.
Звідси також слідує, що для вихідної функції стрибок рівний 6-6=0.
Дослідимо на неперервність другу точку
границя зліва
границя справа
За означенням функція в точці x=2 має неусувний розрив І роду.
Стрибок функції рівний 29-(-3)=31.
Для заданої функції побудовано графік.

графік функції, точки розриву

З наведеного матеріалу Ви повинні навчитися знаходити розриви першого та другого роду, а також розрізняти їх. Для цього підібрано небагато прикладів, які в повній мірі розкривають всі важливі питання теми. Все решта зводиться до знаходження простих односторонніх границь і не повинно бути для Вас складним.