Відшукання максимумів та мінімумів – одне з поширених завдань при дослідженнях функцій.
Неперервна на відрізку [a;b] функція y=f(x) набуває своїх найбільшого та найменшого значень, або в критичних точках (у точках, в яких похідна перетворюється в нуль чи не існує), що належать досліджуваному проміжку, або на його кінцях x=a, x=b.
На практиці знаходження максимумів та мінімумів подібне до відшукання локального екстремуму, тільки добавляються краї проміжку. Можливі випадки коли максимуми та мінімуми функцій знаходяться в точках локального екстремуму, а можливі - на краях відрізку.
Розглянемо ряд прикладів, щоб ознайомити Вас з методикою дослідження.

-----------------------------------

Приклади. Визначити найбільше та найменше значення фунції на проміжку.

Збірник В.Ю. Клепко, В.Л. Голець "Вища математика в прикладах і задачах".

1. (4.55.б)

Розв'язування: Функція визначена на всій множині дійсних чисел . Хоча вона і дробова, проте знаменник ніде не перетворюється в нуль.
Знайдемо похідну функції

Прирівняємо її до нуля та визначимо критичні точки

Перевіримо знак похідної зліва та справа від знайденої точки


Похідна при переході через точку x=0 змінює знак з додатного "+" на від'ємний "-", отже вона є точкою локального максимуму.
Знайдемо значення функції в точці x=0

та на краях відрізку


Таким чином функція досягає максимуму в точці локального екстремуму fmax(0)=1, а мінімуму на одному з країв відрізку fmin(3)=-5/13.

 

2. (4.55.д)

Розв'язування: На заданому проміжку функція визначена всюди, обчислимо її похідну
похідна функції
З умови рівності похідної нулю знаходимо критичну точку
критичні точки
Задана точка належить розглянутому відрізку. Знайдемо значення функції в критичній точці та на краях



Функція набуває максимуму і мінімуму в точках
fmax(1)=1, fmin(2)=0,6137.

 

3. (4.55.є)

Розв'язування: Функція визначена для всіх значень аргумента .
Знайдемо похідну
похідна функції
З виразу бачимо, що похідна відмінна від нуля на проміжку визначення, однак в точці x=0 вона не існує.
Обчислимо значення функції в підозрілих на екстремум точках



Найбільше значення функція приймає в точці fmax(-2)=3 , а найменше значення в критичній точці fmin(0)=1.

Наведемо розв'язки задач із збірника Дубовик В.П., Юрик І.І. "Вища математика" .

4. (5.770)

Розв'язування: Синус функція визначена всюди, тому приступаємо до знаходження похідної
похідна функції
Прирівняємо її до нуля та знайдемо критичні точки
критичні точки

Знайдемо значення функції у всіх підозрілих на екстремум точках




З отриманих значень випливає, що функція приймає максимум та мінімум на краях відрізку
максимум функції мінімум функції

 

5. (5.771)

Розв'язування: На заданому інтервалі функція визначена, тому переходимо до диференціювання
похідна функції
Прирівнявши до нуля похідну отримаємо
критичні точки
Іншу критичну точку найдемо з умови, що похідна не існує

Одна співпадає з початком відрізку. Обчислимо значення функції на краях відрізку та в критичних точках



Таким чином функція приймає максимальне значення в критичній точці, а мінімальне на кінці відрізку
максимум функції мінімум функції
З наведених розв'язків можна зробити висновки, що головним в обчисленні є знання функцій та вміння диференціювати. Все решта зводиться до відшукання значень функцій в точках та аналізу результатів. Вивчайте властивості елементарних функцій, правила знаходження похідних, це Вам стане в нагоді при знаходженні екстремумів.