Відшукання локальних максимумів і мінімумів не обходиться без диференціювання і потрібне при дослідженні функції та побудові її графіка.

Точка x0 називається точкою локального максимуму (або мінімуму) функції y=f(x), якщо існує такий окіл 0<|x-x0|<delta цієї точки, який належить області визначення функції, і для всіх аргументів x<x0 з цього околу виконується нерівність f(x)<f(x0) (або f(x)>f(x0)).

Точки максимуму і мінімуму називаються точками екстремуму функції , а значення функції в екстремальних точках – її екстремальними значеннями.

НЕОБХІДНА ОЗНАКА ЛОКАЛЬНОГО ЕКСТРЕМУМУ:

Якщо функція має в точці x0 локальний екстремум, то її похідна або рівна нулю f'(x0)=0 , або не існує. Точки, які задовольняють виписаним вище вимогам ще називають критичними точками. Проте не в кожній критичній точці функція має екстремум. Відповідь на питання: чи буде критична точка точкою екстремуму дає наступна теорема.

ДОСТАТНЯ ОЗНАКИ ІСНУВАННЯ ЕКСТРЕМУМУ ФУНКЦІЇ

Теорема І. Нехай функція y=f(x) неперервна в деякому інтервалі, що містить критичну точку x0, і диференційована у всіх точках цього інтервалу (за винятком, можливо, самої точки x0). Тоді для точки x0 функція має максимум, якщо для аргументів x<x0 виконується f'(x0)>0, а для x>x0 умова f'(x0)<0.

Якщо ж для x<x0 похідна менша нуля f'(x0)<0 , а для x>x0 більша нуля f'(x0)>0, то для точки x=x0 функція має мінімум.

Теорема ІІ. Нехай функція два рази диференційована в околі точки x0 і похідна рівна нулю f'(x0)=0 . Тоді в точці x=x0 функція має локальний максимум, якщо друга похідна менша нуля f"(x0)<0 , і локальний мінімум, якщо друга похідна додатна f"(x0)>0.

Якщо ж f"(x0)=0, то точка x=x0 може й не бути точкою екстремуму.
При дослідженні функцій на екстремуми використовують обидві теореми. Перша на практиці простіша, оскільки не вимагає знаходження другої похідної.

ПРАВИЛА ЗНАХОДЖЕННЯ ЕКСТРЕМУМІВ (МАКСИМУМІВ І МІНІМУМІВ) ЗА ДОПОМОГОЮ ПЕРШОЇ ПОХІДНОЇ

1) знайти область визначення D(f);

2) знайти похідну f'(x);

3) знайти критичні точки x0;

4) дослідити знак похідної f'(x) на інтервалах, які отримали від розбиття критичними точками області визначення.

При цьому критична точка x0 є точкою мінімуму, якщо при переході через неї зліва направо f'(x) змінює знак з від'ємного "-" на додатній "+", в протилежному випаду x0 є точкою максимуму.
Замість даного правила можна визначати другу похідну f"(x) і досліджувати згідно другої теореми.

5) обчислити значення функції в точках екстремуму.

Розглянемо тепер дослідження функції на екстремуми на конкретних прикладах.

 

Приклади. Збірник В.Ю. Клепко, В.Л. Голець "Вища математика в прикладах і задачах"

1. (4.53.7) y=x2e-x

Ров'язування: 1) Областю визначення буде множина дійсних чиселобласть визначення
2) Знаходимо похідну функції
похідна функції
3) Прирівнявши її до нуя, визначаємо критичні точки
критичні точки
Вони розбивають область визначення на такі інтервали

4) Дослідимо знак похідної на знайдених інтервалах методом підстановки внутрішніх точок



Таким чином перша точка x=0 є точкою мінімуму, а друга x=2 - точкою максимуму.
5) Обчислюємо значення ординати точкок
максимум функції
На цьому і грунтуються дослідження функцій на екстремуми.

 

2. (4.53.9)

Ров'язування: 1) Областю визначення буде множина дійсних чисел область визначення, оскільки корінь завжди більший одиниці

і функція арктангенс визначена на всій дійсній осі .

2) Знаходимо похідну логарифма та арктангенса
похідна функції

3) З умови рівності похідної нулю знаходимо критичну точку
критична точка
Вона розбиває область визначення на два інтервали

4) Визначимо знак похідної в кожній з областей

Отже в критичній точці x=-1 функція приймає мінімальне значення.
5) Обчислимо екстремум функції
мінімум функції
Ще одне завдання детально проаналізована на локальний екстремум.

 

3. (4.53.13)

Ров'язування: 1) Функція визначена коли знаменник дробу не перетворюється в нуль

Отже область визначення складається з трьох інтервалів
область визначення
2) Обчислимо похідну
похідна функції

3) Прирівнюємо похідну до нуля і знаходимо критичні точки.
критичні точки




4) Встановлюємо знак похідної в кожній з областей підстановкою відповідних значень.






Таким чином перша точка x3=-5,359 є точкою локального максимуму, а x2=3,359 локального мінімуму. В x1=0 маємо перегин функції, але про нього буде більше матеріалу в наступних статтях.
5) Знаходимо значення в критичних точках
максимум функції
мінімум функції
Незважаючи на те, що значення функції ymax<ymin, перша точка є точкою локального максимуму, а дуга – мінімуму. Не лякайтеся, якщо в Вас вийдуть подібні результати, при визначенні локальних екстремумів такі ситуації нормальне явище.